一、知识归纳
（一）平方根与开平方
1.平方根的含义
如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根。
即，叫做的平方根。
2.平方根的性质与表示
⑴表示：正数的平方根用表示，叫做正平方根，也称为算术平方根，叫做的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：（根指数2省略）
0有一个平方根，为0，记作 ，负数没有平方根
⑶平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数的平方根的运算。
== （）
⑷的双重非负性
且 （应用较广）
例： 得知
⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。数学八年级上册
区分：4的平方根为 的平方根为 4开平方后，得
3.计算的方法
*若，则
（二）立方根和开立方
1．立方根的定义
如果一个数的立方等于，呢么这个数叫做的立方根，记作
2. 立方根的性质
任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.
3. 开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。
（a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推广： 次方根
１. 如果一个数的次方（是大于１的整数）等于，这个数就叫做的次方根。
当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。
当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。
２. 正数的偶次方根有两个：；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
（四）实 数
1. 实数：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
① 按属性分类： ② 按符号分类
2. 实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．
数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
①尺规可作的无理数，如
②尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
思考：
（1）－a2一定是负数吗？－a一定是正数吗？
（2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？
（3）的整数部分为a,小数部分为b，则a= , b= 。
（4）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
① 无限小数都是无理数；
② 无理数都是无限小数；
③ 带根号的数都是无理数；
④ 有理数都是实数，实数不都是有理数；
⑤ 实数都是无理数，无理数都是实数；
⑥ 实数的绝对值都是非负实数；
⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。
3. 实数大小比较的方法
一、平方法： 比较和的大小
二、根号法： 比较和的大小
三、求差法： 比较和1的大小
4.实数的三个非负性及性质
(1)在实数范围内，正数和零统称为非负数。
(2)非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即
（3）非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
二、题型解析
题型一、有关概念的识别
例1.下面几个数： ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1
C、=±1 D、是5的平方根的相反数
题型二、计算类型题
例2.设，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
例3.计算：
例4.先化简，再求值： ，其中a=，b=．
例5.若和互为相反数，求的值。
题型三、实数非负性的应用
例6．已知实数a、b、c满足，2|a-1|++ =0,,求a+b+c的值.
例7.若，求x，y的值。
例8.已知：=0，求实数a, b的值
【变式1】，求的平方根和算术平方根。
【变式2】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
题型四、数形结合题
例9、如图，实数、在数轴上的位置，
化简 ：
类型五、实数应用题
例10．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。
类型六、拓展提升
例11.已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
例11.已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
例12.把下列无限循环小数化成分数：①②③
二次根式
1、二次根式： 形如的式子。二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。非负性
3、化最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式有关公式
（1） （2）
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