·数学竞赛
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胡伟（山东省枣庄市第九中学 ２７７１００
）胡伟毕业于江苏师范大学数学教育专业，中学一级教
师，工作２３年来始终奋斗在数学教学的第一线，期间发表论文十
余篇，
数次获得市区奖励
在全国各地数学竞赛试题中，经常出现带有高斯符号的问题．下面我们就先来研究高斯符号．
由高斯符号的含义：［ｘ］表示不大于ｘ的
最大整数，我们可以这样理解：如果一个实数ｘ写成一个整数与一个正的纯小数（或０
）的和的形式，那么这个整数就是［ｘ］，这个正的纯小数（或０）用｛ｘ｝表示，从而有ｘ＝［ｘ］＋｛ｘ｝．如ｘ＝３．４，则［ｘ］＝３，｛ｘ｝＝０．４；再如ｘ＝－３．４，则［ｘ］＝－４，｛ｘ｝＝０．６；若ｘ＝３，则［ｘ］＝３，｛ｘ｝＝０．下面举例说明，供大家们参考．
例１ 对于实数ｘ，我们规定［ｘ］表示不大于ｘ的最大整数，例如［１．２］＝１，［３
］＝３，［－２．５］＝－３．若ｘ＋４
１０
［］
＝５，
则ｘ的取值可以是（ ）
（Ａ）４０． （Ｂ）４５． （Ｃ）５１． （
Ｄ）５６．分析 本题可将各选项直接代入
ｘ＋４
１０
［］求解，也可由［ｘ］代表的意义建立不等式组求解．
解法１ 将ｘ＝４０代入
ｘ＋４
１０
［］，得４０＋４
１０
［
］
＝４，
选项（Ａ）错误；将ｘ＝４５代入ｘ＋４１０［］，得４５＋４
数学天地１０
［
］
＝４，选项（Ｂ）错误；
将ｘ＝５１代入ｘ＋４１０［］，得５１＋４
１０
［］
＝５，选项（Ｃ）正确；将ｘ＝５６代入ｘ＋４１０［］，得５４＋４
１０
［
］
＝６，选项（Ｄ）错误．
故选（Ｃ）．
解法２ 由
ｘ＋４
１０［］
＝５，得ｘ＋４１０≥５，ｘ＋４
１０＜６，烅
烄
烆解得４６≤ｘ＜５６，
故选（Ｃ）．
例２ 定义：对于实数ａ，符号［ａ］表示不
大于ａ的最大整数．例如：［５．７］＝５，［５］＝５，［－π］＝－４．
（１）如果［ａ］＝－２，
那么ａ的取值范围是．（２）如果ｘ＋１
２
［］
＝３，
求满足条件的所有正整数ｘ．
分析 （１）根据［ａ］＝－２，得出－２≤ａ＜－１，
求出ａ的解即可；（２
）根据题意得出３≤ｘ＋１
２
＜４，求出ｘ的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解．
解 （１）因为［ａ］＝－２，
所以ａ的取值范围是－２≤ａ＜－１．
（２）根据题意，得３≤ｘ＋１
２
＜４，解得
５≤ｘ＜７，
则满足条件的所有正整数为５，６．（
下转２８页）·
６２·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期
图３
例３ 如图３，在
Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，点Ｄ，Ｅ分别在边ＢＣ，ＡＣ上，ＡＤ与ＢＥ交于点Ｏ，四边形ＤＣＥＯ的内切圆存在且与△ＡＯＢ的内切
圆的半径恰好相等．求这两个相等的内切圆的半径．
解 把此题一般化，记
ＡＣ＝ｂ，ＢＣ＝ａ，ＡＢ＝ｃ，所求两内切圆半径均为ｒ，利用面积关系可得
Ｓ△ＡＢＣ＝
１２ａｂ＝ｒ２＋２×１２（ａ－ｒ）ｒ＋２×１２
（ｂ－
ｒ）ｒ－△＋２×１
２ｃｒ＋△（△指重叠区域的面积），化简，得
２ｒ２
－２（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＋ａｂ＝０，
注意到ａ２＋ｂ２＝
ｃ２
，解得ｒ＝
ａ＋ｂ＋ｃ－２ｃ（ａ＋ｂ＋ｃ槡）
２，本题中，把ａ＝４，ｂ＝３，ｃ＝５代入可得
ｒ＝６ －槡
３０．例４ 如图４，ＡＢ是圆的直径，Ｃ为ＡＢ上的任一点，ＣＤ⊥ＡＢ，ＣＤ交圆于点
Ｄ，Ｅ为线
段ＣＢ上任一点，ＣＦ⊥ＤＥ，交ＢＤ于点Ｆ．
图４
求证：ＡＣＣＥ＝ＤＦ
ＦＢ
．
证明 作ＦＨ⊥ＡＢ于
点Ｈ，ＦＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，连接ＡＤ，ＧＨ，则四边形
ＦＨＣＧ是矩形，所以∠１＝∠２．
又
∠１＋∠ＦＣＢ＝∠３＋∠ＦＣＢ＝９０°，所以∠１＝∠３，
∠２＝∠３，
所以Ｒｔ△ＧＦＨ∽Ｒｔ△Ｄ
ＣＥ，所以ＤＣＣＥ＝
ＦＧ
ＦＨ
，即
ＦＧ·ＣＥ＝ＤＣ·ＦＨ．
Ｒｔ△ＡＤ
Ｂ中，ＣＤ２＝ＡＣ·ＢＣ，由以上两式可得
１
２
ＣＤ·ＦＧ（）１２
ＣＤ·ＣＥ（）＝１２ＡＣ·ＤＣ（）１
２
ＢＣ·ＦＨ（），即Ｓ△ＤＣＦ·Ｓ△ＤＣＥ＝Ｓ△ＡＣＤ·Ｓ△ＣＦＢ，
又△ＤＣＦ和△ＣＦＢ、△ＡＣＤ和△ＤＣＥ等高，所以
Ｓ△ＤＣＦＳ△ＣＦＢ＝ＤＦ
ＦＢ，Ｓ△ＡＣＤＳ△ＤＣＥ＝ＡＣＣ
Ｅ，所以
ＡＣＣＥ＝
ＤＦＦＢ
．
（上接２６页）例３ 任何实数ａ，可用［ａ］表示不超过ａ的最大整数，如［ａ］＝４，［槡３］＝１，现对７２进行如下操作：７２第１次→ ［槡７２］＝８第２次→
［槡
８］＝２第３次→ ［槡２］＝１，这样对７２只需进行３次操作后变为１，类似地，①对８１只需进行次操作后变为１；②只需进行３次操作后变为１的所有正整数中，最大的是
．
分析 ①求８１的算术平方根的整数部分９，
再求９的算术平方根的整数部分３，再求３的算术平方根的整数部分１；②为第一问的逆运算．
解 ①首先理解［ａ］的意义，
它表示不超过ａ的最大整数，然后仿照“７２”的操作，８１第１次→ ［槡８１］＝９第２次→ ［槡９］＝３第３次→
［槡
３］＝１，
所以对８１只需进行３次操作后变为１；②只需进行３次操作后变为１的所有正整数中出最大的，需要进行逆向思维，若［槡ａ］＝１，则ａ可以取的最大整数为３；若［槡ａ］＝３，则ａ可以取的最大整数为１５；若［槡ａ］＝１５，则ａ可以取的最大整数为２５５，所以最大为２５５．
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８２·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期
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