孙志东（浙江省杭州市英特外国语学校　３１１１２１
）孙志东
理学硕士，杭州英
特外国语学校高级教师，现任教高中中澳班数学课兼备课组长
，担任校学生处主任助理。
数学中的对偶原理，是指对于一个已知数或代数式，引进一个与之对应的有某种对偶关系的代数式，然后一起参与运算，从而使问题变得简单．笔者通过研究到了这种构造对偶在求值或在解方程中的应用．
１．
利用分母有理化，构造对偶关系例１　ｘ，ｙ都是实数，且（ｘ＋ｘ２
＋槡１）（ｙ
＋ｙ２　
＋槡１）
＝１，则ｘ＋ｙ＝．分析　已知条件中含有两个结构一样的代数式，并且发现（ｘ２　＋槡１＋１）（ｘ２　
＋槡
１－ｘ）＝１，
从而可以考虑两次分母有理化，再把新得的两个式子相加，问题就获解了．
解　由于ｘ＋ｘ２　
＋槡１
＝１
ｙ２　
＋槡
１＋ｙ＝ｙ２　
＋槡１－ｙ，
所以ｘ＋ｙ＝ｙ２　＋槡１－ｘ２　
＋槡
１．①
同理
ｙ＋ｙ２　＋槡１＝ｘ２　
＋槡
１－ｘ，从而得到
ｘ＋ｙ＝ｘ２　＋槡１－ｙ２　
＋槡１．②
①＋②，
得ｘ＋ｙ＝０．例２　已知实数ｘ，ｙ满足（
ｘ－ｘ２　－槡
２０１８）（ｙ－ｙ２　
－槡２０１８）＝２０１８，则３ｘ２－２ｙ２
＋３ｘ－３ｙ－２０１７＝（  ）（Ａ）－２０１８．    （
Ｂ）２０１８．（Ｃ）－１．
（Ｄ）１．分析　可以采用例１的思路，寻ｘ，ｙ的关系．
解　由已知得
ｘ－ｘ２　－槡２０１８＝ｙ＋ｙ２　
－槡２０１８，ｙ－ｙ２　－槡２０１８＝ｘ＋ｘ２　
－槡２０１８，两式相减得２（ｘ－ｙ）＝０，这样ｘ＝ｙ．
代入上式中的任一个可得
ｘ２＝ｙ２＝２０１８．
所以　３ｘ２－２ｙ２
＋３ｘ－３ｙ－２
０１７＝３×２
０１８－２×２０１８－２０１７＝１．
２．
利用整体法换元，再局部构造对偶式例３　已知实数ｘ，ｙ满足（
ａ＋ａ２　＋槡１）（ｂ＋ｂ２　＋槡４）＝９，求ａ　ｂ２　
＋槡４＋ｂ　ａ２　
＋槡
１的值分析　虽然同例１与例２含有类似的代数
结构，但是前述的采用分母有理化的方法却行不通，需要另谋思路．考虑所求的式子结构在已知条件的展开中有类似的结构，不妨尝试整体换元的思路．
解　由已知条件展开得
ａｂ＋ａ２　＋槡１　ｂ２　＋槡４＋ａ　ｂ２　＋槡４＋ｂ　ａ２　＋槡１＝９，
不妨设ａ　ｂ２　＋槡４＋ｂ　ａ２　
＋槡
１＝ｘ，ａｂ＋ａ２　＋槡１　ｂ２　
＋槡
４＝ｙ，则
数学天地
ｘ＋ｙ＝９，
①又　ａ＋ａ２　
＋槡１＝
９４
（ｂ２　
＋槡４－ｂ），②且　ｂ＋ｂ２　＋槡４＝９（ａ２　
＋槡
１－ａ），③
②×③，得９＝８１
４
（ｙ－ｘ）
，即
ｘ－ｙ＝－
４９
，④
联立①与④，解得　ｘ＝７７
１８．
所以　ａ　ｂ２　＋槡４＋ｂ　ａ２　
＋槡
１＝７７１８
．·
９２·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版
例４　比（槡
６　＋槡５）６
大的最小整数是多少
分析　直接展开计算会特别复杂，不妨考虑构造其对偶式．
解　设ａ＝槡６　＋槡５，ｂ　＝槡６　－槡５，则ａ＋ｂ　＝槡
２　６，ａｂ＝１，所以
ａ２＋ｂ２
＝２
２，ａ３＋ｂ３＝（ａ＋ｂ）（ａ２－ａｂ＋ｂ２
）＝槡
４２　６，从而
ａ６＋ｂ６＝（
ａ３＋ｂ３）２－２ａ３ｂ３
＝１
０５８２，即（槡６　＋槡５）６＋（槡
６　－槡５）６
＝１０５８２，由于０＜（槡６　－槡５）６
＜１，所以
１０５８１＜（槡６　＋槡５）６
＜１
０５８２，所以比（槡
６　＋槡５）６
大的最小整数是１０５８２．３．
构造对偶式解方程例５　解方程：
ｘ＝ｘ－
１ｘ槡
＋１－１
ｘ
槡
．分析　由于已知方程的右边是两个根式的和，所以可以构造两个根式差的对偶式．
解　令ｙ＝ｘ－１ｘ槡－１－
１
ｘ
槡
①
则原方程与①相加，得
ｘ＋ｙ＝２　ｘ－１
ｘ
槡
，
②
原方程与①相乘，得ｘｙ＝ｘ－１，
由于ｘ≠０，所以
ｙ＝１－
１ｘ
．③
把③代入②，得
ｘ－
１ｘ＋１＝２　ｘ－１
ｘ
槡
，配方得ｘ－１
ｘ
槡
－１
（）
２
＝０，
从而ｘ－
１
ｘ
＝１，解得ｘ＝１±槡５
２．
因为ｘ＞０，所以
ｘ＝１　＋槡５２
．
经检验ｘ＝１　＋槡５２
是原方程的根．
例６　解方程：２ｘ２　
－槡
１＋ｘ２－３ｘ　－槡２＝２ｘ２＋２ｘ　＋槡３＋ｘ２－ｘ　＋槡２．
分析　已知方程含有四个根式，不宜直接
解方程，可以从构造对偶的角度考虑．
解　记ｐ＝２ｘ２　
－槡１－２ｘ２＋２ｘ　＋槡３
＝ｘ２－ｘ　＋槡２－ｘ２－３ｘ　－槡２，设ｍ＝２ｘ２　
－槡１＋２ｘ２＋２ｘ　＋槡３，
ｎ＝ｘ２－ｘ　＋槡２＋ｘ２－３ｘ　－槡２，
则
ｍ＞０，ｎ＞０，
ｍｐ＝－（２ｘ＋４），ｎｐ＝２
ｘ＋４，从而ｍｐ＋ｎｐ＝０，
这样ｐ（
ｍ＋ｎ）＝０，所以ｐ＝０，从而
ｍｐ＝２
ｘ＋４＝０，所以
ｘ＝－２．
练习　
１．非零实数ｘ，ｙ满足（ｘ２　
＋槡２０１８－ｘ）（ｙ２　＋槡
２０１８－ｙ）＝２０１８，求１００１０ｘ·１０２０ｙ的值．
２．已知ｘ－ｙ＝６，ｘ２－ｘ槡ｙ＋ｘｙ－ｙ槡２＝９，求ｘ２－ｘ槡ｙ－ｘｙ－ｙ槡
２
的值．３．
已知
７ｘ２＋９ｘ　＋槡
１３－
７ｘ２－５ｘ　＋槡
１３＝７ｘ，求ｘ的值．４．已知实数ａ，ｂ满足ａ１－ｂ槡２
＋
ｂ　１－ａ槡
２＝１，求ａ与ｂ之间的关系式．答案　
１．１．    　２．４．３．ｘ＝１２７
．
４．ａ２＋ｂ２
＝１．
·
０３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期