３×４２０＋２，４×４２０＋２，
即共有５个符合题意的自然数，其中最大的自然数是４×４２０＋２＝１６８２．
２３．当ｂ＝０时，｜ｘ２－１｜＝１
１０
ｘ，此时要求ｘ≥０，去掉绝对值，解一元二次方程得
ｘ＝－１±槡４０１
２０
或ｘ＝１　±槡４０１
２０
，
舍去两负根，
因此Ａ中只有２个元素．
当ｂ＝１时，｜ｘ２－１｜＝１
１０
ｘ＋１，此时要求ｘ≥－１０，去掉绝对值，解一元二次方程得
ｘ＝０，－１
１０或１　±槡８０１
２０
．
它们都满足ｘ≥－１０，因此Ａ中有４个元素．２４．ａｎ＝｛２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，５１２，…｝，若｛ａｎ｝中的元素在｛ｃｎ｝中，则必须满足减２以后能被３整除，则只有
８，３２，１２８，５１２，…满足条件，
即２３，２５，２７，２９，…
故ｃｎ＝２２ｎ＋１，
即公比ｑ＝２
２（ｎ＋１）＋１
２２ｎ＋１
＝
２２ｎ＋３
２２ｎ＋１
＝４，
所以Ｓｎ＝８
（１－４ｎ）
１－４
＝
８
３
（４ｎ－１）．
２５．第ｎ组中有２ｎ－１个数对，则前ｎ组共有１＋３＋５＋…＋（２ｎ－１）＝ｎ２个数对．因为４４２＝１９３６＜２００５＜４５２＝２０２５，
所以２００５在第４５组．
因为前４４组共有１９３６个数对，且２００５－１９３６＝６９，所以第２００５个数对是第４５组中的第６９个数对．
观察规律可知，由于４５为奇数，所以第一个数对为（０，４４），数对中的第一个数逐步增加到４４，即第４５个数对为（４４，４４），然后第二个数４４逐步减去１，所以第４５组中第６９个数对是（４４，２０）．
高中一年级第２试
一、选择题
１．已知等差数列｛ａｎ｝中（ａｎ∈Ｚ，ｎ∈Ｎ＊），ａ１＝５，ａ２＝ｂ，则ａｎ≠０的充要条件为（）（Ａ）ｂ≠０．（Ｂ）ｂ≠４．
（Ｃ）ｂ≠０或ｂ≠４．（Ｄ）ｂ≠０且ｂ≠４．
２．对１９４９°，１９６６°，２００５°，２００８°依次求余弦，则余弦值最大及最小的角依次是（）（Ａ）１９４９°，１９６６°．（Ｂ）１９６６°，１９４９°．
（Ｃ）２００８°，１９６６°．（Ｄ）２００５°，２００８°．
３．下列函数中，值域为Ｒ＋的是（）
（Ａ）ｙ＝２－｜ｘ－１｜．
（Ｂ）ｙ＝３ｘ＋１（ｘ＞０）．
（Ｃ）ｙ＝ｘ２＋ｘ＋２．
（Ｄ）ｙ＝１
ｘ２
．
４．设集合
Ｍ＝ｘ　ｘ＝
ｋ
２
＋
１
４
，ｋ∈Ｚ
｛｝，
Ｎ＝ｘ　ｘ＝
ｋ
４
＋
１
８
，ｋ∈Ｚ
｛｝，
Ｐ＝ｘ　ｘ＝
ｋ
８
＋
１
４
，ｋ∈Ｚ
｛｝，
则下面的结论中正确的是（）
（Ａ）Ｍ∪Ｎ＝Ｐ．（Ｂ）Ｍ∩Ｎ＝Ｐ．
（Ｃ）Ｍ∩Ｐ＝Ｐ．（Ｄ）Ｍ∩Ｎ＝Ｍ．
５．偶函数ｆ（ｘ）（ｘ∈Ｒ）满足：ｆ（－４）＝ｆ（１）＝０，在区间［０，３］与［３，＋∞）上分别递减和递增，则不等式ｘ３　ｆ（ｘ）＜０的解集为（）
（Ａ）（－∞，－４）∪（４，＋∞）．
（Ｂ）（－４，－１）∪（１，４）．
（Ｃ）（－∞，－４）∪（－１，０）．
（Ｄ）（－∞，－４）∪（－１，０）∪（１，４）．
·
１
４
·
６．如果ｆ（ｘ）＝ｍａｘ｛ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ｝（ｘ∈Ｒ），则下面命题正确的是（）
（Ａ）函数ｆ（ｘ）的值域是［－１，１］．
（Ｂ）当且仅当ｘ＝２ｋπ＋π
２
（ｋ∈Ｚ）时，ｆ（ｘ）取得最大值．
（Ｃ）函数ｆ（ｘ）的最小正周期是π．
（Ｄ）当且仅当２ｋπ＋π＜ｘ＜２ｋπ＋３π
２（ｋ∈Ｚ）时，ｆ（ｘ）＜０．
７．Ｆｏｕｒ　ｐｅｏｐｌｅ，Ａ，Ｂ，Ｃａｎｄ　Ｄａｒｅ　ａｃｃｕｓｅｄｉｎ　ａ　ｔｒｉａｌ．Ｉｔ　ｉｓ　ｋｎｏｗｎ　ｔｈａｔ
（１）ｉｆ　Ａｉｓ　ｇｕｉｌｔｙ，ｔｈｅｎ　Ｂｉｓ　ｇｕｉｌｔｙ；
（２）ｉｆ　Ｂｉｓ　ｇｕｉｌｔｙ，ｔｈｅｎ　Ｃｉｓ　ｇｕｉｌｔｙ　ｏｒ　Ａｉｓｎｏｔ　ｇｕｉｌｔｙ；
（３）ｉｆ　Ｄｉｓ　ｎｏｔ　ｇｕｉｌｔｙ，ｔｈｅｎ　Ａｉｓ　ｇｕｉｌｔｙ　ａｎｄＣｉｓ　ｎｏｔ　ｇｕｉｌｔｙ；
（４）ｉｆ　Ｄｉｓ　ｇｕｉｌｔｙ，ｔｈｅｎ　Ａｉｓ　ｇｕｉｌｔｙ．
Ｈｏｗ　ｍａｎｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｃｃｕｓｅｄ　ａｒｅ　ｇｕｉｌｔｙ
Ａｎｓｗｅｒ：（）
（Ａ）２．（Ｂ）３．（Ｃ）４．
（Ｄ）Ｉｎｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ．８．已知ｆ１（ｘ）＝ｘ＋１，ｆ２（ｘ）＝２ｘ，ｆ３（ｘ）＝－３ｘ＋５，Ｆ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）｝，则Ｆ（ｘ）的最大值为（）
（Ａ）１．（Ｂ）２．（Ｃ）４．（Ｄ）８．
９．满足ａ２－３ｂ－９＝０（ａ，ｂ∈Ｚ），且｜ｂ｜≤１０００的数组（ａ，ｂ）的个数是（）
（Ａ）５７．（Ｂ）５４．（Ｃ）３７．（Ｄ）１０９．
１０．有“黄河源头第一县”之称的青海省果洛藏族自治州玛多县，被称作“千湖之县”．受连续干旱影响，该县有数百个湖泊相继干涸，且鼠害十分猖獗，草原在加速退化，每年因鼠害造成的退化面积达２０％．按这样的退化速度，自２００５年起，经过（）草原退化总面积将开始超过２００５年草原总面积的一半．
（Ａ）３年．（Ｂ）４年．（Ｃ）５年．（Ｄ）６年．
二、填空题
１１．设集合Ａ＝｛１，２，３，４，５，６｝，则从Ａ到Ａ的映射ｆ有个，其中，满足ｆ（Ａ）≥ａ的映射有个．
１２．若ｆ（ｘ）＝
ｘ＋１，
１，
烅
烄
烆
ｘ≥０，
ｘ＜０．
则ｆ（ｃｏｓ２）＝；当ｘ∈［０，２π）且满足ｃｏｓｘ＋ｆ（ｓｉｎｘ）＞１的ｘ的集合为．
１３．一个三位数与它的各位数字和的比值
为ｐ（例如对于三位数４６２，ｐ＝４６２
４＋６＋２
＝
７７
２
），若三位数的各位数字都不为０，则当ｐ取得最小值时，此三位数是；当ｐ取得最大值时，此三位数是．
１４．函数ｙ＝３ｘ２－６ｘ＋２　２ｘ－ｘ
槡２＋４的最大值为，最小值为．
１５．如果△ＡＢＣ边上的点的坐标（ｘ，ｙ）在映射ｆ：（ｘ，ｙ）→（２ｘ＋２，２ｙ－５）的作用下的像的集合所对应的图形是△Ａ′Ｂ′Ｃ′，已知△ＡＢＣ的面积为６，则△Ａ′Ｂ′Ｃ′的面积等于．１６．Ｌｅｔ　ａａｎｄ　ｂ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｒｅａｌ　ｒｏｏｔｓ　ｏｆｔｈｅ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｘ２－（ｋ－１）ｘ＋ｋ２＋３ｋ＋４＝０，ｗｈｅｒｅ　ｋ　ｉｓ　ｓｏｍｅ　ｒｅａｌ　ｎｕｍ　ｂｅｒ．Ｔｈｅｌａｒｇｅｓｔ　ｐｏｓｓｉｂｌｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ａ２＋ｂ２　ｉｓ．１７．某校高一新生共有７８４人，每班分配５６人．方法是：将每人的入学成绩从高分到低分依次编号（成绩相同的学生按姓氏笔画的顺序），然后按Ｓ形顺序编班．例如：若有８个班，按编号１至８号分别编在１至８班，９至１６号分别编在８至１班，１７至２４号分别编在１至８班……．该校高一新生中编号为３００（每号只对应１人）的同学编在班．
１８．函数ｙ＝ｘ２（－２≤ｘ≤２）与函数ｙ＝ｘ＋ｍ的图象恰有１个公共点在ｙ轴的右侧，则
·
２４
·
ｍ的取值范围是
．
１９．数列｛ａｎ｝的前三项依次为５，５５，５５５，但第４项不是５５５５，请写出一个适合题意的通项公式：ａｎ＝
．
２０．集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ＝９ｎ
，ｎ＝０，１，２，…，２００５｝，已知９２００５
是１９１４位数，
则在Ｍ中最高位是９的数共有
个
．
图１
三、解答题
２１．
如图１所示，在凸四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ
＝ＣＤ＝ＤＡ＝２，∠Ａ＝θ．
（１）求ＢＤ的长（
用θ表示）；（２）设△ＡＢＤ的面积为Ｓ１，△Ｂ
ＣＤ的面积为Ｓ２，ｆ（
θ）＝Ｓ２１＋Ｓ２
２，求函数ｆ（θ）的值域．２２．密码员王超设计了一种给自然数编码的方法：
（１）先将自然数表示成五进制数（逢五进一）
；（２）再将五进制中的５个数码与集合｛Ｖ，
Ｗ，Ｘ，Ｙ，Ｚ｝中的元素建立一个一一对应关系．
后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数被编成ＶＹＺ，ＶＹＸ，ＶＶＷ．求被编成
ＶＷＸＹＺ的数所对应的十进制数．
２３．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｋｘ＋１
ｘ２
＋ｘ＋１．（１）当ｋ＝２时，求ｆ（ｘ）的值域；（２）若存在实数ａ，ｂ，ｃ，使ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）＜ｆ（
ｃ），求实数ｋ的取值范围．参考答案
一、选择题
１．等差数列公差ｄ＝ｂ－５．
如果等差数列不存在值为零的项，那么对于任意非零自然数ｎ，不等式５＋（ｎ－１）（ｂ－５）≠０恒成立，
即ｎ≠
５
５－ｂ
＋１ Ｎ＊，所以５－ｂ≠１且５－ｂ≠５，
即
ｂ≠４，
且ｂ≠０．反之，可证当ｂ≠４且ｂ≠０时，５
５－ｂ
＋１
Ｎ＊
，
即对于任意非零自然数ｎ，当ｂ≠４且ｂ≠０时，不等式５＋（ｎ－１）（ｂ－５）≠０恒成立．所以这个数列中不存在零项的充要条件为
ｂ≠０且ｂ≠４．
故选（Ｄ）．
２．
ｃｏｓ１９４９°＝ｃｏｓ１４９°，ｃｏｓ１９６６°＝ｃｏｓ１６６°，ｃｏｓ２００５°＝ｃｏｓ２０５°＝ｃｏｓ１５５°，ｃｏｓ２００８°＝ｃｏｓ２０８°＝ｃｏｓ１５２°
，在区间（９０°，１８０°）内，余弦函数是减函数，故ｃｏｓ１４９°＞ｃｏｓ１５２°＞ｃｏｓ１５５°＞ｃｏｓ１６６°，故选（Ａ）．
３．ｙ＝２
－｜ｘ－１｜
的值域是（０，１］；ｙ＝３
ｘ＋１（ｘ＞０）的值域是（１，＋∞）；ｙ＝ｘ２
＋ｘ＋２的值域是
７
４
，＋∞［
）
．故选（Ｄ）．
４．
因为Ｍ＝ｘ｜ｘ＝
ｋ２＋１
４
，ｋ∈Ｚ｛｝＝ｘ｜ｘ＝２（２ｋ＋１
）８
，ｋ∈Ｚ｛｝，Ｎ＝ｘ｜ｘ＝ｋ４＋１
８
，ｋ∈Ｚ｛｝＝ｘ｜ｘ＝２ｋ＋１
８
，ｋ∈Ｚ｛｝，Ｐ＝ｘ｜ｘ＝ｋ８＋１
４
，ｋ∈Ｚ｛｝＝ｘ｜ｘ＝ｋ＋２
８
，ｋ∈Ｚ｛｝，所以
Ｍ∪Ｎ≠Ｐ，
Ｍ∩Ｎ≠Ｐ，Ｍ∩Ｎ＝ ，
·
３４·数学天地
故排除（Ａ），（Ｂ），（Ｄ），又Ｍ Ｐ，所以Ｍ∩Ｐ＝Ｍ．
故选（Ｃ）．
５．
由偶函数性质及单调性，
知图２
ｆ（
－４）＝ｆ（－１）＝ｆ（１）＝ｆ（４）＝０，画出ｆ（ｘ）对应的大致图象，如图２所示．
当ｘ＜－４或－１＜ｘ＜１或ｘ＞４时，
ｆ（
ｘ）＞０；当－４＜ｘ＜－１或１＜ｘ＜４时，ｆ（ｘ）＜０．当ｘ＜０时，ｘ３＜０；当ｘ＞０时，ｘ３＞０．所以ｘ３　
ｆ（ｘ）＜０的解集为
｛ｘ｜ｘ＜－４或－１＜ｘ＜０或１＜ｘ＜４｝．故选（Ｄ）
．
图３
６．
作出函数ｆ（
ｘ）的图象，如图３所示，只有（Ｄ）是正确的．
７．
从Ｄ入手，分有罪和无罪两种情况讨论：
假设Ｄ无罪，由（３）知，Ａ犯罪且Ｃ无罪；由（１）知，Ｂ犯罪．由（２）知，Ａ无罪或Ｃ犯罪，与Ａ犯罪且Ｃ无罪矛盾，
故假设Ｄ无罪不成立，即Ｄ犯罪．
由（４）知，Ａ犯罪；由（１）知，Ｂ犯罪；由（２）知，Ｃ也犯罪．
因此犯罪的共有４人．故选（Ｃ）．
８．如图４所示，作出ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（
ｘ），易得Ｆ（ｘ）的图象．由Ｆ（ｘ）的图象，可知Ｆ（ｘ）的最大值为２．故选（Ｂ）
．
图４
９．由ａ２－３ｂ－９＝０，
得ｂ＝ａ２
３
－３．
①
由｜ｂ｜≤１０００，
有－１０００≤ａ２
３－３≤１
０００，０≤ａ２≤３００９，所以－槡
３００９≤ａ≤槡３００９．因为ａ是整数，所以－５
４≤ａ≤５４．②
因为ｂ是整数，即ａ２
３
－３是整数，所以ａ２是３的倍数，即ａ·ａ
３是整数，
所以
ａ是３的倍数．
结合②知，ａ的值为－５４，－５１，－４
８，…，５１，５４共３７个．故选（Ｃ）．
１０．设２００５年的草原总面积为ｘ，
设经过ｍ年后（即２００５＋ｍ年）
，草原的面积退化超过ｘ
２，即１５ｘ＋１５×４５ｘ（）＋１５×４５
（）
２ｘ＋…＋１５×４５（）ｍ－１
ｘ＞ｘ２
，即
４５（）ｍ＜１
２．当ｍ＝３时，４５
（）３
＝６４１２５＞１
２；·
４４·
当ｍ＝４时，
４
５
（）
４
＝２５６６２５＜１２
．所以最多经过４年，草原退化总面积就超过２００５年草原总面积的一半．故选（Ｂ）．
二、填空题
１１．（１）如图５所示，其它元素也如此，因此，
从Ａ到Ａ的映射ｆ共有６×６×６×６×６×６＝６６
（个）
．
图５
图６
（２
）如图６所示，其它元素也如此，因此，满足ｆ（Ａ）≥ａ的映射共有
１×２×３×４×５×６＝７２０（个）．
１２．因为ｃｏｓ２＜０，所以
ｆ（
ｃｏｓ２）＝１，因此，原不等式等价于
ｓｉｎｘ≥０，ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＋１＞１，烅烄
烆
或ｓｉｎｘ＜０，ｃｏｓｘ＋１＞１，烅烄烆
解得
０≤ｘ＜３π４或３π
２
＜ｘ＜２π．故满足条件的ｘ的集合为
０，３π４［）∪３π２
，
２π（
）
．１３．设此三位数为ａｂｃ，
则ｐ＝
１００ａ＋１０ｂ＋ｃ
ａ＋ｂ＋ｃ
．（１）先固定ｂ，ｃ，
则ｐ＝
１００（ａ＋ｂ＋ｃ）－９０ｂ－９９ｃａ＋ｂ＋ｃ＝１
００－９９ｂ＋９９ｃａ＋ｂ＋ｃ
．因为ｂ，ｃ固定，所以
ａ越小时，ｐ越小．
所以当ａ＝１时，ｐ才可能取到最小值．
（２
）再固定ｃ，则ｐ＝
１００＋１０ｂ＋ｃ
１＋ｂ＋ｃ
＝
１０（ｂ＋ｃ＋１）－９ｃ＋９０１＋ｂ＋ｃ＝１
０＋９０－９ｃ１＋ｂ＋ｃ
．因为９０－９ｃ恒大于零，
所以
ｂ越大，ｐ越小．
从而知当ｂ＝９时，ｐ才可能取到最小值．
（３）ｐ＝
１００＋９０＋ｃ
１＋９＋ｃ
＝
ｃ＋１０＋１８０
ｃ＋１０＝１＋
１８０
ｃ＋１０
．因为
ｃ越大，ｐ越小，
所以当ｃ＝９时，ｐ才能取到最小值，故可知使ｐ取到最小值的三位数为１９９．同理，使ｐ取到最大值的三位数为９１１．
１４．令ｔ＝２ｘ－ｘ槡２
＝－（ｘ－１）２　
＋槡１，
０≤ｔ≤１，则
ｙ＝３（ｘ２－２ｘ）＋２　２ｘ－ｘ槡
２＋４＝－３ｔ　２
＋２
ｔ＋４＝－３　
ｔ－１
３
（）２
＋１３３
，由０≤ｔ≤１，得３≤ｙ≤
１３
３
．故ｙ的最大值和最小值分别为１３
３
和３．
１５．
作图可知△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，且ＡＢＡ′Ｂ′＝１
２，又由三角形相似性质，得
·
５４·