·数学基础精讲
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刘家良（天津市静海区沿庄镇中学 ３０１６０５
）刘家良中学高级教师，在《数理天地》、《中国数学教育》
、《中学数学教学参考》等２２种刊物上发表文章２６０余篇，
其中的６篇文章被全文转发于中国人民大学书报资料中心主编的《初中数学教与学》上。
见题型．
例１ 若关于ｘ的不等式３ｘ＋ａ≤２只有２个正整数解，则ａ的取值范围为（ ）
（Ａ）－７＜ａ＜－４．
（Ｂ）－７≤ａ≤－４．（Ｃ）－７≤ａ＜－４．
（Ｄ）－７＜ａ≤－４．
分析 先将不等式的解集用含参数的
式子表示，再根据题意确定哪几个正整数是不等式的解，确定含参数的式子介于哪两个两个连续正整数之间，进而得以参数ａ为未知数的不等式组，其解集即为参数取值范围．
解 解３ｘ＋ａ≤２，得ｘ≤
２－ａ
３
．因为不等式只有２个正整数解，
所以不等式的正整数解为１，２，
如图１．图１
所以２≤
２－ａ
３
＜３．解得－７＜ａ≤－４．
故选（Ｄ）．
注 确定２－ａ
３
的范围（
介于哪两个连续正整数之间）是求ａ值范围的关键，含参数式子的值是否等于其中的正整数是求ａ值范围应注意的地方，此处２－ａ３
可等于２但不等于３．
例２ 若关于ｘ的一元一次不等式组
ｘ－１＞０，
２ｘ－ａ＜０｛
有且只有２个整数解，则ａ的取值
范围是．
分析 类比例１，先解不等式组，再根据题意得到哪几个正整数是不等式组的解，确定不等式组的解集含参数式子的一端介于哪两个连续正整数之间，得以参数ａ为未知数的不等式组，其解集即为参数的取值范围．
解 解不等式ｘ－
１＞０，得
ｘ＞１，解不等式２ｘ－ａ＜０，
得ｘ＜
ａ
２
，所以不等式组的解集是
１＜ｘ＜
ａ２
．因为ｘ的一元一次不等式组有２个整数解，
所以不等式的整数解为２和３，如图２．
图２
所以３＜
ａ
２
≤４．解得
６＜ａ≤８．
注 １＜ｘ＜
ａ２的右端ａ
２
可以等于４但不能等于３．
（下转３页）
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１·２０２０年第１２期数学基础精讲数理天地初中版
图２ 解 （１）首先根据题意画出图形，如图２．二次函数ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ的对称轴为：
ｘ＝－２ａ
２ａ＝－１．
即
ＯＥ＝１．
由于ＡＤ∥ＰＱ∥ｙ轴，
所以ＯＥ∶ＥＡ＝ＣＰ∶ＰＤ＝２∶３．
所以
ＥＡ＝３
２
，
即Ａ－５
２
，０（）
．
由抛物线的对称性可知Ｂ
１
２
，０（）
．（２）由二次函数ｙ＝ａｘ２
＋２ａｘ＋ｃ及对称
轴为ｘ＝－１可知Ｐ（－１，ｃ－ａ），Ｃ（０，ｃ）．过点Ｃ作ＣＧ⊥ＰＱ于点Ｇ，
则ＣＧ＝１，ＧＥ＝ｃ，ＰＧ＝－ａ．
因为ＡＤ∥ＰＱ，所以
∠ＣＰＧ＝∠ＣＤＡ．由ｔａｎ∠ＣＤＡ＝
５
４
，得ｔａｎ∠ＣＰＧ＝ＣＧＰＧ＝１－ａ＝５
４
．
所以
ａ＝－
４
５
．所以二次函数的解析式为ｙ＝－
４５ｘ－１２
（）ｘ＋
５
２
（
）
数学天地＝－４５ｘ２－８
５
ｘ＋１．
（３）设Ｑ点的坐标为（－１，ｍ），△Ｑ
ＡＣ是直角三角形有以下三种情况：
①Ａ
Ｑ是斜边，但由于∠Ａ
ＣＱ＜∠ＧＣＯ＝９０°，故这种情形不存在；
②Ａ
Ｃ是斜边，此时有ＡＣ２＝ＡＱ２＋ＱＣ２．
而ＡＣ２
＝ＯＣ２
＋ＯＡ２
＝１２
＋
５
２
（）２
＝２９４
，ＡＱ２
＝ＥＡ２
＋ＥＱ２
＝３
２
（）２
＋ｍ２
，
ＱＣ２＝ＱＦ２＋ＣＦ２＝１２＋（
１－ｍ）２
．所以２９４＝９４
＋ｍ２＋１＋（
１－ｍ）２
，解得ｍ＝１±槡７２
（
正值舍去）．故
ｍ＝
１ －槡７２
，即Ｑ点的坐标为－１，１ －槡７２（）
．③Ｃ
Ｑ是斜边，此时有ＱＣ２＝ＡＱ２＋ＡＣ２，
即１＋（１－ｍ）２
＝
９４＋ｍ２
＋２９４
，解得
ｍ＝－１５４
．
即Ｑ点的坐标为－１，－
１５
４
（）
．综上所述，当Ｑ点的坐标为－１，１－槡７２
（）或－１，－１５４（
）
时，△ＱＡＣ是直角三角形．
（上接１页）例３
若关于ｘ
的不等式组
ｘ－２４＜ｘ－１３，２ｘ－ｍ≤２－ｘ烅烄烆
有且只有３个整数解，则ｍ的取值范围是．
解 解不等式ｘ－２４＜
ｘ－１
３，得
ｘ＞－２，
解不等式２ｘ－ｍ≤２－ｘ，
得
ｘ≤
ｍ＋２
３
，
所以不等式组的解集为－２＜ｘ≤ｍ＋２
３，因为不等式组有且只有３个整数解，即－１，０，１．所以１≤
ｍ＋２
３
＜２，解得
１≤ｍ＜４．
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３·２０２０年第１２期数学基础精讲数理天地初中版
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