线段中点是几何图形中的一个重要且特殊的点，是几何学学习的基础和核心构成要素。与线段中点有关的重要性质和结论有很多，这些都是几何图形问题解决的重要解题依据和推理依据，是几何逻辑推理的基础条件或过渡性条件或结论性条件，复习时把线段的中点有关的性质，定理和结论从基本意义，基本性质，基本图形结构，基本应用等四个方面进行思维导图的梳理与构建，为线段中点问题的解决插上数学智慧翅膀。
一、构建线段的中点知识思维导图
二、分模块把握掌握线段的中点
（模块一）。线段中点的基本意义
1。要准确理解定义，需要把握如下几点：
（1）把握好中点与线段的位置关系：线段的中点必须在线段上；
（2）把握好分线段、分线段与原线段的数量关系：分线段间是等量关系；分线段与原线段是一半关系。其学习思维导图可以绘制如下：
理解时，思维方向是单向的即由左向右理解，绝对不能由右向左去理解，否则就会得到很多错误的结论或描述。试一试，能通过检验吗？
（3）练一练
下列四种说法：①因为AM=MB，所以M是AB中点；②在线段AM的延长线上取一点B，如果
AB；④因为A、M、B在AB=2AM，那么M是AB的中点；③因为M是AB的中点，所以AM=MB=1
2
同一条直线上，且AM=BM，所以M是AB中点，其中正确的是（）A。①③④ B。④ C。②③④ D。③④
解析：第一种说法不能保证满足位置关系，所以不正确；第二种说法符合中点的定义，所以正确；第三，第四都满足线段中点的定义，所以选C。
2。立足教材习题，掌握基本计算思路
如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若AB=4cm。求线段CD的长度。
（人教版七年级上册p128页第3题）这道习题的安排，不仅是为了巩固线段的中点，更是为了学会初步的几何推理，学会用数学思想解决，更要学会创新思维探解问题。
常规解法：
解法1：因为点D是线段AB的中点，所以AD=1
2
AB，因为AB=4，所以AD=2；因为点C是线
段AD的中点，所以CD=1
2
AD，因为AD=2，所CD=1(cm)。
解法2：因为点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，所以AB=2AD,AD=2CD，
所以AB=4CD，因为AB=4，所CD=1(cm)。
方程思想法：
设CD=x，则AB=2AD=4CD=4x，根据题意，得 4x=4，解得 x=1, 所CD=1(cm)。
点拨：方程思想是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学解题方法，从一开始接触几何初步知识开
始，就养成深度地思考的好习惯，一题多解的解题品质，运用数学思想指导解题，提高解题的准确率和拓展解题思路，培养数学发散思维的思维品质和严谨数学解题意志力，从而提高自我数学素养。
创新思维：
取DB的中点E，根据四等分点的意义，得AC=CD=DE=EB=1
4
AB, 因为AB=4，所CD=1(cm)。
点拨：数学学习需要有创新精神，创新品质，创新思维，有敢于打破常规，从平常中寻创新的切入点，创新之火一旦迸发，必将激发创新之火长红，生成数学创新思维之树，为数学基础学习和创新学习奠定基础。
3。走进数轴，相反数，探求数形结合计算新思路
基本结论：如图1，数a，b，c表示的数在数轴上表示的点分别为A,B,C，且AC=BC，根据数轴上两点间距离公式，得 b-c=c-a即a+b=2c。由此得到如下基本结论：
在数轴上，线段的两个端点表示的数的和是其线段的中点表示的数的2倍。
数学天地特例：当线段的中点恰好是数轴的原点时，线段的两个端点表示的数的和是0即a+b=0。
思考后产生的新结论，也为数学学习推开一片新天地，像一缕清新的空气，荡涤自己的脑海，那么舒畅，那么震撼！
理论应用：
（1）一般性应用
例1 （2019·贵州贵阳）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（）
A．3 B．4。5 C．6 D．18
解析：因为数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，所以a+2a=18,
解得：a=6，故选C ．
（2）特例型应用
例2(2019，四川成都）若1 m 与-2互为相反数，则m 的值为 。
解析：互为相反数的意义是两个端点表示的数分别为m+1和-2，线段的中点表示的数是0, 所以m+1-2=0，所以m=1。
例3（2019，山东枣庄）点O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图2所示，O 为原点，AC=1，OA=OB ．若点C 所表示的数为a ，则点B 所表示的数为 （ ）
A ．﹣（a+1）
B ．﹣（a ﹣1）
C ．a+1
D ．a ﹣1
解法1：因为O 为原点，AC=1，点C 所表示的数为a ，所以a-
A x =1，所以A x =a ﹣1， 因为 OA=O
B ，所以A x +B x =0，所以B x =﹣（a ﹣1）， 所以选B ．
解法2：如图2，在OB 上取一点D ，使BD=AC=1，则OA-AC=OB-BD 即OD=OC ，所以C x +D x =0，所以D x =﹣a ，所以OB=OD+BD=-a+1=-（a-1）, 所以选B ．
（3）综合型应用
例4 （2018•高邑县一模）如图3，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数为﹣10，OB=3OA ，点M 以每秒3个单位长度的速度从点A 向右运动．点N 以每秒2个单位长度的速度从点O 向右运动（点M 、点N 同时出发）（1）数轴上点B 对应的数是 ．
（2）经过几秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等？
解析：（1）因为点A 表示的数为﹣10，所以OA=10；因为OB=3OA=30，所以B 对应的数是30．
（2）设经过x 秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等，此时点M 对应的数为3x ﹣10，点N 对应的数为2x ．
①点M 、点N 在点O 两侧，则3x-10+2x=0，解得x=2；②点M 、点N 重合，则3x ﹣10=2x ， 解得x=10．所以经过2秒或10秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等．
（4）探索规律中的应用
例5 （2019年聊城）如图5，数轴上O ，A 两点的距离为4，一动点P 从点A 出发，按以下 规律跳动：第1次跳动到AO 的中点1A 处，第2次从1A 点跳动到1A O 的中点2A 处，第3次 从2A 点跳动到2A O 的中点3A 处，按照这样的规律继续跳动到点4A ,5A ,6A ,…，n A ．（n
≥3，n 是整数）处，那么线段n A A 的长度为 （n ≥3，n 是整数）．
解析：由于OA=4，所有第一次跳动到OA 的中点1A 处时，O 1A =
12
OA ，同理第二次从1A 点跳动到2A 处，离原点的距离为12 O 1A =21()2OA ，同理跳动n 次后，离原点的距离：1()2
n OA ，所以n A A=OA-1()2n OA=4（1-12n ）（n ≥3，n 是整数）． （模块二）。线段垂直平分线中的线段中点
例6 （2019湖北宜昌）通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是 （ ）
解析：根据作图痕迹，A 为作线段BC 的垂直平分线，所以交点是线段BC 的中点；B 为作线段AB 的垂直平分线，点D 是垂直平分线上一点，但不是BC 的中点；C 为作∠BAC 的平分线，点D 也具有为线段BC 中点的功效；D 为作线段BC 上的高，点D 为垂足，且垂足也比一定有中点的功效。所以选A ．
（模块三）。等腰三角形中的线段中点
3。1基本作图中的线段中点
例7 （2019山东省潍坊市）如图6已知∠AOB ，按照以下步骤作图：
①点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB 的两边于C ，D 两点，连接CD ． ②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点E ，连接CE ，DE ．③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中错误的是 （ ）
A ．∠CEO=∠DEO
B ．CM=MD
C ．∠OCD=∠EC
D D ．OCED S 四边形=12
CD OE •
解析：由作图可知OC=OD ，CE=DE ，OE=OE ，所以△OCE≌ODE，所以∠CEO =∠DEO，选项A 正
确，根据“三线合一”可知，CM=MD，CD⊥OE，所以选项B、D正确；选项C错误；所以选择C。
3。2等腰三角形中的线段中点
例8 （2019重庆A卷）如图7，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB=FE．
解析：（1）因为AB=AC，D是BC边上的中点，所以AD平分∠BAC，所以∠BAD=1
2
∠BAC=54°．
（2）略
（模块四）直角三角形斜边上的中线
4。1。连中线，巧证点在垂直平分线上
例9 （2019•攀枝花）如图8，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE．求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；（2）∠BEC=3∠ABE．
解析：（1）如图8，连接DE，因为CD是AB边上的高，所以∠AD=∠BDC=90°，因为BE是AC边上的中线，所以AE=CE，所以DE=CE，因为BD=CE，以BD=DE，所以点D在BE的垂直平分线上；（2）证明略．
4。2。证全等，构中线，巧证等线段
例10（2019•甘肃）如图9，在正方形A BCD 中，点E是B C 的中点，连接D E，过点A作
AG⊥ED 交D E 于点F，交C D 于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证AB=BF。
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