作者：黄宁 李素云
来源：《课程教育研究·上》2016年第01期
【摘要】电工学教材中对于复杂混联电路的等效电阻计算介绍不多，导致学生求解时十分困难，甚至出现无从下笔，针对这种情况，总结教学经验，归纳出几种较直观和容易理解与掌握的求解方法，介绍各种方法的计算步骤，并指出这些方法的各自特点和相应的适用场合，上述几种方法有助于学生快速提高解题能力，可进一步提高教学效果。
【关键词】混联电路 等效电阻 末端递推法 描点法
【Abstract】 There is little introduction for calculating the equivalent resistance of hybrid circuit in electrotechnics textbook， which causes to difficultly solve and did not know where to start. In view of this situation， the teaching experience was summarized， several more intuitive and easily grasped methods were summed up， calculative steps of these methods were introduced， and respective characteristics and corresponding application of these met
hods were pointed out. Above several methods can help students quickly increase ability of solving problems， and further improve the teaching effect.
【Key words】hybrid circuit； equivalent resistance； terminal recurrence method； depicting points method
【基金项目】广西高等教育教学改革工程项目 （2013JGA243）。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）01-0231-02
电工学是机械设计制造及自动化本科专业的重要专业基础课之一，为后续电类、控制类课程准备必要的电路方面知识。在电路分析中，不仅仅是混联电路需要计算等效电阻，后续的戴维宁定理和诺顿定理，以及一阶线性电路状态分析的三要素法都需要求解等效电阻。现有的教材中对于复杂混联电路的等效电阻计算描述不多，常用的方法是将电路按串、并联逐层化简后求解等效电阻[1-4]，需要绘制很多的电路图，既耗时又费力。文献[5，6]仅从单方面计算等效电阻，应用范围不广；文献[7-10]分别给出了计算等效电阻的不同方法，但方法不直观、简洁，使用较繁琐。此外，由于实际电路并不是简单的串、并联联接，而是呈现多
样化，往往不能轻易看出各电阻之间的联接形式，致使学生解题时无从下笔，因此在分析、求解等效电阻的方法上需有所不同。为此，根据以往的教学积累，总结归纳出一些容易理解和掌握的计算方法，帮助学生准确地解答复杂混联电路的等效电阻问题。
1.等效电阻
一个电阻可替代几个连接电阻所起的作用，这个电阻称之为几个电阻的等效电阻。电路中无论电阻个数多少、联接方式各异，都可用一个电阻来等效代替，不影响原电路两端的电压和流过电流的大小变化。串联电路的等效电阻等于各串联电阻之和，如两个电阻串联，则等效电阻R=R1+R2，电阻越多，等效电阻越大；并联电路的等效电阻的倒数等于各支路电阻的倒数之和，如两个电阻并联，则1/R=1/R1+1/R2，电阻越多，等效电阻越小，且小于其中的任意电阻；混联电路是串、并联电路的组合，计算等效电阻时需要根据电阻的不同联接形式，运用不同的方法进行。
2.无源网络等效电阻计算
任何电路都可以看成是两个端点输出的二端网络，根据网络内有无电源（电压源或电流源）可分为有源二端网络和无源二端网络。电阻混联电路属于无源二端网络。
2.1末端递推法
当电阻联接形式出现如图1所示，这种电路具有明显的多层次结构，电阻之间联接关系较容易确定，可采用以下的步骤计算等效电阻：
并联电阻计算 ①将总体计算思路分为逐层的局部等效电阻计算和整体等效电阻计算。
②计算中从最末端开始，依次往前递推，根据串、并联等效电阻计算公式分别求出每层的等效电阻。
③逐步对电路分层化简后得出总等效电阻。
根据末端递推法的计算步骤，可写出图1中最末层的等效电阻R11=R8//（R5+R6+R9），中间层等效电阻R22=R7//（R3+R4+R11），最后总等效电阻R0=R1+R2+R22。这种方法用于层次分明的电路，计算工作量较大。
2.2 电桥平衡法
对于电桥电路求解时，如果满足电桥平衡条件，即相对的电桥臂电阻乘积相等（图2中
为R1R5=R2R4），则计算大为简化。计算过程可按以下进行：先把图2中的cd支路进行断开或短接处理（因为两点电位相等Vc=Vd），之后再按串、并联分别计算。图2中的等效电阻Rab=（R1+R4）//（R2+R5），或Rab=R1//R2+R4//R5。若电路中有多个电桥电路，根据平衡条件运用此法进行计算，其过程将变得非常简单，但仅限于电桥平衡电路。
2.3 电路对称简化法
在一个复杂的电路中，当电路结构具有对称性，则可利用电路的对称性简化电路图，简化计算过程，快速计算出等效电阻，它是一种巧妙的解题方法。
图3所示电路具有左右、上下完全对称，根据对称简化法，求解时取电路的四分之一，结合电桥平衡法，可方便地得到该部分的等效电阻Rae=1+1//1=1.5？赘；简化后电路变成两条两个等效电阻串联支路，之后进行并联联接，总等效电阻Rab=（1.5+1.5）//（1.5+1.5）=1.5？赘。这种方法使用范围较小，主要针对具有对称结构的电阻网络。
2.4星形联接与三角形联接等效互换法
在电路中出现电阻既非串联，又非并联形式，可用星形（Y形）与三角形（△形）等效
变换进行简化来计算等效电阻。图4中左侧表示为三角形联接，电阻的串、并联关系不易识别，计算总等效电阻比较麻烦，将它变成右边的图后，电阻之间的串、并联联接非常清晰，容易得到等效电阻Rab=Ra+（Rc+R5）//（Rd+R4），其中Ra、Rc、Rd为三角形转换成星形的等效电阻，可由公式直接得到。
2.5 描点法
当电路中电阻之间联接关系较复杂时，一种可靠的方法是在图中导线相交之处分别用不同的点描述，通过对原电路进行有效组合与重画，将之变成易识别的联接形式，之后求解等效电阻。图5中等效电阻计算过程如下：
①分别出电路中的相交点，并用不同的字母标注，如图所示；
②电路中导线直接联接的点，用同一字母表示；
③按照从左到右的顺序在一条直线上画出各点，依次在每两点之间填入相应的电阻，对原电路进行重画；
④ 利用串、并联公式计算等效电阻Rab=[R1//R2+（R3//R4+R6）//R5]//R7。
这种方法可用于任何复杂电阻电路等效电阻计算，能有效求解难度较大的题目，同时也能清晰地看出电阻之间的联接关系，它是一种快速、实用的计算方法，思路单一，易于掌握，对初学者来说非常适宜。
3.有源网络等效电阻计算
3.1无源法
利用戴维宁定理和诺顿定理分析电路时，其等效电阻的计算可采用无源化处理，即把理想电压源短路、理想电流源开路，再根据电路结构选择上述无源网络等效电阻计算方法进行。
3.2 开路、短路法
将有源二端网络的负载去掉，形成开路状态，计算此时的开路电压U；再将负载短接，形成短路状态，计算短路电流I；最后利用公式Req=U/I求得。
3.3 测量法
如图6所示，用电压表先测出负载R两端的带载电压U；再断开负载R支路，测量空载电压U0，则有源网络的等效电阻Req=（U0/U-1）R。这种方法通常用于实验测试。
4.结束语
上述一些方法是多年教学实践基础上积累而得，言简意赅，通俗易懂，学生容易掌握，运用这些方法能有效地解决复杂网络的等效电阻问题。但在实际等效电阻求解中，需根据电阻联接的不同形式，选择合适的计算方法，才能快速、准确地计算出结果。当然，熟练地运用这些方法并非一朝一夕就能完成的，需要花一定的时间，通过不断的训练来巩固和提高，使同学们在练习实践中理解透彻，完全掌握等计算效电阻的各种方法和技巧。
上述计算等效电阻的方法同样适用于交流电路的等效阻抗求解。
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