张雪云（四川省成都外国语学校　６１１７００
）张雪云四川省资阳市人
，研究生学历，中学一级，四川省赛课一等奖，主要研究方向：数学学科教学。
含未知参数的一元二次方程无法直接求具体解，即使通过求根公式也只能得到含参数的两个根和判别式，无法得到方程参数的值．但是在若题目中隐含方程有根的条件，可以通过该条件得到判别式不小于零的约束，根据这个约束条件可得方程的未知参数的范围．
由于求根公式带有除法运算，如果已知方程的根为整数，那么求根公式的分母必须是分子的约数．通过题目中隐含的这两个条件，
通常可得方程的解和未知参数只能是可数的几个值，只需要把这几个值通过枚举的方式列出来就是题目的解．下面就常见题型、常用技巧以及求解问题所用的知识点作细致的讨论．
１．
分解因式　因式分解是得到含参一元二次方程的根的最快捷的方式．
能够因式分解的一元二次方程我们首选因式分解，它的核心在于利用质因数分解或分离常系数法求解，再利用整数的性质及整除性理论解决问题．
例１　已知一元二次方程（ｍ－２）ｘ２－
（２ｍ－５）ｘ＋（ｍ－３）＝０的根都是整数，求整数ｍ的值．
分析　用因式分解得到两根为１和
ｍ－３
ｍ－２
，题中要求方程的根和参数ｍ都是整数，
因此我们对ｍ－３
ｍ－２
分离常数，用整数的性质及
整除性理论即可解决问题．
解　根据题意得ｍ≠１且Δ＝１＞０，
因式分解，得（ｘ－１）［（ｍ－２）ｘ－（ｍ－３）］＝０，
解得ｘ１＝１，ｘ２＝ｍ－３ｍ－２＝１－
１
ｍ－２
，因为ｍ为整数且根都为整数，
所以
ｍ－２＝±１，
可得ｍ的值为２或０．
例２　已知一元二次方程ａ２　ｘ２
－（４ａ２＋
ａ）ｘ＋３ａ２＋７ａ－６＝０至少有一个整数根，求自然数ａ的值．
分析　此题相对例１而言，只是方程较为
复杂，我们仍然用因式分解分解方程，求出含参解，用整数的性质及整除性理论解决问题．
解　因为ａ２　ｘ２
－（４ａ２＋ａ）ｘ＋３ａ２＋７ａ－６＝０是一元二次方程，所以ａ≠０，
因式分解，得
［ａｘ－（ａ＋３）］［ａｘ－（３ａ－２）］＝０，解得
ｘ１＝１＋
３ａ，ｘ２＝３－２
ａ
，因为ａ为自然数，当ｘ１为整数根时，ａ＝１或３，当ｘ２为整数根时，ａ＝１或２．
综上所述，ａ的值为１或２或３．
例３　当整数ｍ为何值时，关于ｘ的方程２ｘ２＋３ｍｘ＋ｍ２＝３有整数解．分析　此题相对例１、
例２而言，共同之处是方程左边能因式分解，不同之处是方程的右边是一个不为０的常数３，从而不能解出含参解，针对这种情况，我们对质因数３进行分解，利用参数和根都为整数的条件用枚举的方法一一枚举．
解　因式分解，得
（ｘ＋ｍ）（２ｘ＋ｍ）＝３，因为ｍ，ｘ都是整数，所以
ｘ＋ｍ＝３，２ｘ＋ｍ＝１，｛ｘ＋ｍ＝－３，
２ｘ＋ｍ＝－１，
｛
·
１３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版
ｘ＋ｍ＝１，２ｘ＋ｍ＝３，｛
ｘ＋ｍ＝－１，
２ｘ＋ｍ＝－３，
｛即
ｘ＝－２，ｍ＝５，｛ｘ＝２，ｍ＝－５，｛
ｘ＝２，ｍ＝－１，｛
ｘ＝－２，ｍ＝１，｛
所以
ｍ＝±１或±５．
注　当方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０
）可分解为（ｘ－ｍ）（ｘ－ｎ）＝ｋ（
ｍ，ｎ，ｋ均为整数）时，可以将整数ｋ分解为两个整数ｋ１，ｋ２的乘积形式，即
ｘ－ｍ＝ｋ１，ｘ－ｎ＝ｋ２｛或ｘ－ｍ＝ｋ２，
ｘ－ｎ＝ｋ１，｛
一一枚
举求解．
例４　关于ｘ的一元二次方程（ｍ２－６ｍ＋８）ｘ２＋（２ｍ２－６ｍ－４）ｘ＋ｍ２－４＝０的两根
都是整数，求实数ｍ的值．分析　本题的参数ｍ没有限定为整数的条件，因此我们考虑把参数ｍ消去，列出解的关系式，和例３一样利用质因数分解，通过枚举一一解出答案．
解　因式分解，得［（ｍ－２）ｘ＋（ｍ＋２）］［（ｍ－４）ｘ＋（ｍ－２）］＝０，
求得两根为
ｘ１＝－１－
４ｍ－２，ｘ２＝－１－２
ｍ－４
．
显然ｘ１≠－１且ｘ２≠－１，则
ｍ－２＝－４ｘ１＋１，ｍ－４＝－
２
ｘ２＋１
，两式相减，得２＝－４ｘ１＋１＋
２
ｘ２＋１
，整理化简，得ｘ２（ｘ１＋３）＝－２，因为ｘ１，ｘ２为整数，
则
ｘ１＝－５，ｘ２＝１，｛ｘ１＝－４，
ｘ２＝２，｛
ｘ１＝－２，ｘ２＝－２，｛ｘ１＝－１，
ｘ２＝－１
，｛
（舍）
，所以
ｍ＝３或６或１０３
．
２．
韦达定理　当方程无法因式分解时，可考虑选择韦达
定理进行参数枚举或消去参数．特别注意：用韦达定理一定要检验Δ≥０．
例５　已知ａ为正整数，关于ｘ的方程ｘ２＋（ａ＋１６）ｘ＋４２＝０的根都是整数，
求ａ的值．
分析　此题无法因式分解，我们可通过韦达定理得到根与系数的关系，利用参数和根为整数的约束条件分解质因数，直接枚举参数的值，从而解决问题．
解　设方程的两根为ｘ１，ｘ２，
则根据题意，得
ｘ１＋ｘ２＝－（ａ＋１６
）＜０，ｘ１ｘ２＝４２＞０，
｛
则ｘ１，ｘ２都是负整数，４２可分解为－１×（－４
２）＝－２×（－２１）＝－３×（－１４）＝－６×（－７
），所以ｘ１＋ｘ２＝－４３，－２３，－１７，－１
３，所以ａ＝２７，７，１，－３，又因为ａ为正整数且Δ≥０，所以
ａ＝２７，７，１．
例６　关于ｘ的方程ｋｘ２＋（２ｋ＋１）ｘ＋２ｋ
－１＝０的根都是整数，
求ｋ的值．分析　此题方程类型未明确，因此我们先对ｋ＝０和ｋ≠０两种情况进行讨论．当ｋ＝０时，方程转化为一元一次方程，易判断根的情况，进行取舍；当ｋ≠０时，通过韦达定理得到根的关系式，但此题的参数没有约束条件，和例５的情况不一样，因此我们考虑消去参数得到和、积关系式，对和、积关系式进行变形处理后，利用根为整数的条件分解质因数或分离常数求解．
解　（１）当ｋ＝０时，ｘ－１＝０，ｘ＝１成立．
（２）当ｋ≠０时，设两根为ｘ１，ｘ２，由韦达定理，得
ｘ１＋ｘ２＝－（２ｋ＋１）ｋ＝－２－１ｋ
，ｘ１ｘ２＝２ｋ－１ｋ＝２－１
ｋ，烅
烄
烆
①
②
由②－①，得　ｘ１ｘ２－ｘ１－ｘ２＝４，所以（ｘ１－１）（ｘ２－１）＝５，因为方程的根为整数，所以ｘ１－１＝１，－１，５，－５，
ｘ２－１＝５，－５，１，－１，｛所以
ｘ１＋ｘ２＝８或－４，
·
２３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期
所以
ｋ＝－１１０或１
２
，当ｋ＝－１１０时，Δ＝４
２５＞０，
成立；当ｋ＝１２
，Δ＝４＞０，成立，所以
ｋ＝－１１０或１２
．综上所述，ｋ＝－
１１０或１
２
或０．３．
判别式法　不能因式分解，也无法用韦达定理消去参数，或者解为有理数时，可选择判别式法，通过计算Δ，若有整数解必然有Δ是个完全平方数，来解出参数．
例７　已知整数ｍ，ｎ满足２ｍ２＋ｎ２＋３ｍ
＋ｎ－１＝０，
求ｍ，ｎ的值．分析　可以把已知等式看做以ｍ为主元的一元二次方程，ｎ为其参数，根据方程有解可以得到Δ≥０，然后求解关于ｎ的不等式方程，从而得到参数的取值范围，又根据参数ｎ为整数的条件直接枚举，
即可解决问题．解　将２ｍ２＋ｎ２＋３ｍ＋ｎ－１＝０看做关于ｍ的一元二次方程，即
２ｍ２＋３ｍ＋ｎ２＋ｎ－１＝０，要使方程有实数解，则必有
Δ＝－８
ｎ２－８ｎ＋１７≥０，所以ｎ＋１２（）２
≤１９
８
，即
－
１９８槡－１２
≤ｎ≤１９８槡
－１
数学天地２
，又因为ｎ为整数，
所以
ｎ＝－２，－１，
０，１，当ｎ＝－２时，ｍ１＝－１，ｍ２＝－１
２
（舍去）；当ｎ＝－１时，ｍ无整数解；当ｎ＝０时，ｍ无整数解；当ｎ＝１时，ｍ１＝－１，ｍ２＝－
１
２
（舍去）；综上所述，ｍ＝－１，ｎ＝－２或１．
注　对于二元方程可看做关于一个元的
二次方程，由ｍ，ｎ为实数，则Δ≥０，从而求出ｎ的取值范围，
应有“多元转为少元”的意识．例８　已知关于ｘ的方程ｘ２－８ｘ－ｎ２＋８ｎ＋３３＝０的根都是整数，求整数ｎ的值．分析　此题如果我们继续用例７的方法，
即Δ≥０，我们发现时ｎ２－８ｎ－１７≥０，解集为ｎ≥槡３３＋４或ｎ≤－槡３３＋４，若用枚举的方法将非常繁琐，因此我们可以令ｎ２－８ｎ－１７＝
ｔ　
２
，通过配方和因式分解，结合质因数分解来解决问题．
解　因为方程ｘ２－８ｘ－ｎ２＋８ｎ＋３３＝
０有解，
所以
Δ＝４
ｎ２
－３２ｎ－６８≥０，又因为方程的根都是整数，所以Δ＝４（ｎ２－８ｎ－１７）为完全平方数，即ｎ２－８ｎ－１７为完全平方数．
设ｎ２－８ｎ－１７＝ｔ　
２
，ｔ为自然数，所以（ｎ－４）２－ｔ　２
＝３３，即（ｎ－４＋ｔ）（ｎ－４－ｔ）＝３
３，注意到ｎ－４＋ｔ≥ｎ－４－ｔ，
所以ｎ－４＋ｔ＝３３，
ｎ－４－ｔ＝１，｛或ｎ－４＋ｔ＝１１，
ｎ－４－ｔ＝３，｛或ｎ－４＋ｔ＝－３，ｎ－４－ｔ＝－１１，｛或ｎ－４＋ｔ＝－１，
ｎ－４－ｔ＝－３３，
｛解得
ｎ＝２１，ｔ＝１６，｛或
ｎ＝１１，
ｔ＝４，｛或ｎ＝－３，ｔ＝４，｛
或ｎ＝－１３，ｔ＝－１６，｛
所以
ｎ＝２１，１１，－３，－１
３．注　当方程存在有理数解时，令Δ＝ｔ　
２，其中ｔ为自然数，此时分两种情况：如果判别式Δ
为二次式，通过配方和因式分解，结合质因数分解等数论方法求解；如果判别式Δ为一次式，将原参数用ｔ表示，解出两根关于ｔ的表达式，从而求出ｔ．
·
３３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版