一、《九章算术》思想方法的特点？
《九章算术》共分九章，每一章都包括若干道问题，共计有246道题。每道问题后给以答案，一些问题后给出“术”，即解题的方法。通过这种形式，对我国古代数学作了总结和发展，代表了中国古代数学的基本思想方法，它具有如下的特点。
（1）开放的归纳体系
《九章算术》是按着当时社会实践所需要解决的问题来分类的，每一类(一章)中设置若干个实际问题，每个问题都给出答案，并提供有关的算法。由于实际问题是从具体的东西开始研究，所以是一个归纳的体系——从个别的问题到一般的算法。又由于是按当时社会实践所需要解决的问题来分类的，那么社会实践的发展必然向数学提出新的问题来，那也就必然会直接促进数学的发展，数学的发展直接来自社会实践中的问题，所以是一个开放的体系。整个中国古代数学思想都具有这个特点，《九章算术》是它的一个典型代表。
《九章算术》的每一章都是同一类型的应用问题或者是通过同类数学模型来解决的多种应用问题。为了认识其体系上的特点，我们简述各章的内容。
第一章，“方田”，计有38道问题，其中计算各种形状的田地面积的题目有24道，提供了“方田术”、“圭田术”
、“邪田术”、“箕田术”、“圆田术”、“宛田术”、“弧田术”、“环田术”等多种算法。还有与计算面积有关的分数四则计算题14道。这一章里注重研究了各种具体田地面积的计算法。
第二章，“粟米”，有46道题。其中有计算各种粮食互相兑换的问题，其他有关砖、竹、漆、丝、缣、布、矢弊等生产、生活资料的问题15道，都是比例问题，本章里提供了有关的具体算法。
第三章，“衰分”，收集了20道题。这章的开头，首先揭示出“衰分术”，即按一定比例分配的算法，突出了算法的重要性。与这种算法有关的应用问题，包括按等级制分配物品，出钱、关税、、出工、计工，贷款利息、粮食买卖等，涉及到当时社会生活的一些主要问题。
第四章，“少广”，共计24道题。其中已知矩形田地面积及其边求另一边的问题有11道，其余是关于正方形，圆形、立体，球形的求积有关的问题。给出了“开方术”、“开圆术”，“开立方术”、“开立圆术”四种重要算法，开启了我国古代解一元高次方程的先河。
第五章，“商功”，有28道题，都属于土方工程的计算问题。从筑城、开渠、凿运河、修堤坝、建粮仓等大量的建设工程中提炼出来的应用问题。给出了“方褓祷”(正四棱柱)、“圆坝祷”(正圆柱)、“方亭”(正四棱台)、“圆亭”(正圆台)、“方锥”(正四棱锥)、“塑堵”、
“鳖脯”、“羡除等多种“立体”的求积算法。这些“立体”实质上就是几何图形概念，这些算法创立了我国独特的几何证明方法。
第六章，“均输”，共有28道题，其中大部分问题，是关于按各地区人口多少、路途远近、粮食种类、交纳实物或摊派徭役的计算方法。其他少数问题，是为了运用上述计算方法，而编制的应用问题。
第七章，“盈不足”，有20道题。这20道题都是为给出和运用“盈不足术”(即“双设法”)而编制的。这种“盈不足术”是从大量应用问题的计算中提炼出来的数学模型，也是一种算法。
第八章，“方程”，有18题。“方”指的是算筹排列的形式，“程”则指左右“课率”相比较的意思。其涉及到的实际问题的解法，相当于今天布列线性方程组求解，当时是利用算筹摆布(运筹)采解线性方程组的，摆布算筹的过程相当于我们现在利用线性方程组累数增广矩阵解方程的方法。其中“正负术”给出了正负数的概念、记法和加减运算规则。这两点都是《九章算术》对数学发展作出的世界性贡献。
第九章，“勾股”，有24道题。它继承和发展了商高(约公元前1100年)提出的勾股定理，与天文算法和大地测量相结合，开创了直角三角形相似法和出入相补原理，解决了关于高度、深度和难度的各种测量问题。
通过九章的内容，可以看出它确实是一个与社会实践密切相联系的“开放”体系：其中方田、粟米、衰分、少广、商功、均输等章属于当时社会生产和生活的几个主要方面需要的数学问题，如田亩测量，工程建设售交通运输、税收和商业等，这些都是一个以农业为主的封建社会的生产和生活所必需的。通过这些章中给出的算法，就解决了当时社会生产和生活所提出来的各种计算问题。至于盈不足、方程、勾
股三章，则分别阐述了三种常用的数学模型及其用法用例，是为在各个领域中应用服务的。既有高度的应用价值，又有深刻的数学思想，其所达到的成就具有世界意义。所以《九章算术》是一个按应用问题性质归纳分类的开放性的理论体系。《九章算术》之后的中国封建社会的各种数学著述，基本上都以它为范本，而且大都采取了它的体例，即结合一类应用问题的解法，改善和提高有关的算法，发明创造新的数学理论，在中国古代封建社会里，取得了辉煌的成就，在世界上长期处于领先地位。不仅如此，《九章算术》的开放性，应用性的数学思想也是近代数学思想发展的一大源泉。考察现代应用数学体系，也正是按应用方向或主要采用的数学模型分类的。
（2）算法化的内容
前面我们已谈过《九章算术》的结构特点：按应用方向或主要应用的数学模型把全书划分为若干章，在每一章内举出若干个实际问题，对每个问题都给出答案，然后给出这一类问题的算法。《九章算术》中称这种算法为“术”，按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案来。历来数学家对《九章算术》的注售校夕基本上都是在“术”上作文章，即不断改进算法。举一个例子：《九章算术》第一章“方田”的第5、6题及有关的“术”。
数学天地第5题：今有十八分之十二。问约之得几何？答日：三分之二。
第6题：又有九十一分之四十九。问约之得几何？答日：十三分之七。
约分术日：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。
这个“术”的意思是，若分子、分母全是偶数，则可用2约简；若分子、分母不全是偶数，则可以把分子、分母(表示它们的算筹)置于不同的地方夕然后由较大的数减去较小的数，并辗转相减直到两边所得的数相等，就用这个数(等数)来约分。这个等数实际上就是分子和分母的最大公约数。所以“约分术”就是求两数最大公约数的一个算法。
值得深思的是，即使在现代算法意义下考察这个“术”，它也是一个“合格”的算法。“约分术”提供的算法具有如下特点：
(1)是严格“一义”的规定，不可能有歧义的理解；
(2)在执行这个算法时，每一时刻都知道下一时刻(或每一步都知道下一步)怎么办，有严格的顺序性；
(3)能够解决求两个数(任意正整数)的最大公约数这一类问题；
(4)由于任意给定的数都是有限数，辗转相减，在有限步内一定可以减到“最后”一步，即在有限步内可以求出结果。
《九章算术》中大多数“术”都是这样的，而“术”才是该书的主要内容，问题是为了引出术或是作为术的应用而给出的。所以说，《九章算术》具有算法化的内容。
算法化的内容是完全适合于开放性的归纳体系的。这种体系首先就是要解决实际问题。要迅速地解决问题，最好的方法莫过于给出一个算法。对于一类问题，只要能够给出数据就能用给出的算法很快地得出结果，这就能更好地满足社会生产和生活对数学提出的要求。
还应该特别指出，《九章算术》的算法化内容是与算筹的发明和应用分不开的。据专家估计，至迟在公元前5世纪，算筹就已开始使用了。
（3）模型化的方法
从方法论的角度来看，《九章算术》广泛地采用了模型化方法。它在每一章中所设置的问题，都是在大量的实际问题中选择具有典型性的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是探讨某种数学模型的应用的——其章的标题也就是。这种数学模型的名称，如“勾股”、“方程”等章。“衰分”、“少广”等章也是由数学模型开始的。
从春秋战国到秦汉之际，中国社会的生产和生活都发生了很大的变化。铁犁牛耕促进了农业生产的高涨，改变了我国古代社会的生产方式。《九章算术》中体现了这一生产发展过程对数学的需要和数学在这种需要下的发展。生产方式的变革对田亩测量、粮食交换、水利工程、税收等等提出新的需要，要求当时的数学解决这些问题。《九章算术》各章都由相应的社会实践中提出现实的原型，用问题表述它们，然后由原型中抽象出数学模型来，当然有的章先给出模型，然后再举出可以应用的原型，表示出模
型化方法的另一个侧面——由模型到原型的过程。由对数学模型的研究得出算法来，算法适于用这种数学模型表述出来的一类问题，按原型中的处理方法为范例，人们就可以应用算法解决实际问题。
模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容是相适应的。模型法的各个模型之间当然也有一定的联系，但它们有较大的独立性，一个模型的建立并不太严格地依赖于其他模型，因此随时都可以由实践中提炼出新的模型。在这种体系里，算法是适合一定的模型的，因此，算法化的内容与模型化的方法是分