苏艺伟（福建省龙海第一中学新校区３６３１００
）苏艺伟中学二级教师。工作以来认真钻研教材，积极写
作，发表两篇ＣＮ级、多篇漳州市级文章，获得过漳州市论文比赛一等奖
。
线图１
面角问题，有时候很难直接出该角，此时可以借助等体积法先求出直线上某点到平面的距离．如图１所示，设点Ｐ到α的距离为ｈ，首
先借助等体积法求出ｈ，再
利用ｓｉｎθ＝
ｈ
ＰＡ
求解
．图２
例１
如图２所示，四棱
锥Ｐ－ＡＢＣＤ的底面ＡＢＣＤ是矩形，ＡＢ＝２，ＰＡ＝ＰＢ＝
ＢＣ＝槡１０，ＰＤ＝ＰＣ＝槡２．（１）求证：面ＰＡＢ⊥面
ＰＣＤ；
（２）求直线ＰＡ与面
ＰＢＣ所成角的正弦值．
解
（１）取ＣＤ中点Ｆ，ＡＢ中点Ｅ，
连接ＰＥ，ＰＦ，ＥＦ．由ＰＦ＝１，ＰＥ＝３，
得ＰＦ２＋ＰＥ２＝ＥＦ２
．
所以
ＰＥ⊥ＰＦ．由ＰＦ⊥ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，得ＰＦ⊥ＡＢ．由ＰＦ⊥ＰＥ，ＰＦ⊥ＡＢ，ＡＢ∩ＰＥ＝Ｅ，
得
ＰＦ⊥面ＰＡＢ．又ＰＦ 面ＰＣＤ，
所以
面ＰＡＢ⊥面ＰＣＤ．
（２）设点Ａ到面ＰＢＣ的距离为ｈ，
则
ｓｉｎθ＝
ｈ
槡
１０，
ＶＡ－ＰＢＣ＝ＶＣ－ＰＡＢ，
Ｓ△ＰＢＣ＝
１２×槡２ ×槡
１９槡
２＝槡１９２．因为ＣＤ∥面ＰＡＢ，
点Ｃ到面ＰＡＢ的距离即为点Ｆ到面ＰＡＢ的距
离．因为ＦＰ⊥面ＰＡＢ，
所以点Ｆ到面ＰＡＢ的距离为１，即１３×
槡１９２ｈ＝１
３
×３×１，解得ｈ＝
６
１槡
９．
所以
ｓｉｎθ＝ｈ
槡
１０＝槡６ １９０１９０＝
槡
３ １９０９５．图３
例２
如图３所示，在三棱
锥Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ⊥面ＡＢＣ，
ＡＣ⊥ＢＣ，Ｄ为ＰＣ中点，Ｅ为
ＡＤ中点，ＰＡ＝ＡＣ＝２，ＢＣ＝１．
（１）求证：ＡＤ⊥面ＰＢＣ；
（２）求ＰＥ与面ＡＢＤ所成角的正弦值．
解
由已知可得ＰＣ＝槡２ ２，ＡＤ＝槡２，ＤＥ＝槡
２２
，
ＰＤ＝槡２，ＰＤ⊥ＡＤ，ＰＥ＝
槡１０２
，ＰＢ＝３，
·
１１·２０２０年第１２期数学中的思想和方法《数理天地》高中版
ＰＣ⊥ＢＣ，ＢＤ＝槡３，
ＡＤ＝槡２，ＡＢ＝槡５，ＡＤ⊥ＢＤ．
（１）因为ＰＡ⊥面ＡＢＣ，ＰＡ 面ＰＡＣ，所以面ＰＡＣ⊥面ＡＢＣ．由ＢＣ⊥ＡＣ，面ＰＡＣ⊥面ＡＢＣ，面ＰＡＣ∩面ＡＢＣ＝ＡＣ，
得ＢＣ⊥面ＰＡＣ，所以ＢＣ⊥ＡＤ．由ＡＤ⊥ＰＣ，ＡＤ⊥ＢＣ，
ＰＣ∩ＢＣ＝Ｃ，
得
ＡＤ⊥面ＰＢＣ．
（２）设点Ｐ到面ＡＢＤ距离为ｈ，
ＶＰ－ＡＢＤ＝ＶＢ－ＰＡＤ，Ｓ△ＡＢＤ＝
槡６２
，Ｓ△ＰＡＤ
＝１，
ＢＣ⊥面ＰＡＣ，
即
ＢＣ⊥面ＰＡＤ，
点Ｂ到面ＰＡＤ距离为ＢＣ＝１．
所以１３ｈ ×槡
６２＝１３
×１×１，解得
ｈ ＝
槡６３，所以
ｓｉｎθ＝
ｈ槡１０２
＝
槡
６３
槡
１０２＝
槡
２ １５１５．图４
例３如图４所示，
在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，
△Ｐ
ＡＤ为等边三角形，ＡＢ＝ＡＤ＝
１
２
ＣＤ＝２，∠Ｂ
ＡＤ＝∠ＡＤＣ＝９０°，∠ＰＤＣ＝６０°，Ｅ为ＢＣ中点．
（１）证明：ＡＤ⊥ＰＥ；
（２）求直线ＰＡ与面ＰＤＥ所成角的大小．解（１）取ＡＤ中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＥ，
则ＡＤ⊥ＰＯ，ＡＤ⊥ＯＥ，
所以
ＡＤ⊥面ＰＯＥ，ＡＤ⊥ＰＥ．
（２）作ＰＱ⊥ＣＤ，ＰＨ⊥ＯＥ，
连接ＨＱ．因为ＡＤ⊥面ＰＯＥ，ＰＨ 面ＰＯＥ，所以ＡＤ⊥ＰＨ．由ＰＨ⊥ＡＤ，ＰＨ⊥ＯＥ，
ＡＤ∩ＯＥ＝Ｏ，
得ＰＨ⊥面ＡＢＣＤ．又ＣＤ⊥ＰＱ，所以ＣＤ⊥ＨＱ，
故四边形ＤＯＨＱ为矩形．又ＤＱ＝１，ＤＯ＝１，所以
ＯＨ＝ＱＨ＝１，ＰＯ＝槡３，ＯＨ＝１，ＰＨ＝槡２．
设点Ａ到面ＰＤＥ距离为ｈ，
则
ＶＡ－ＰＤＥ＝ＶＰ－ＡＤＥ．Ｓ△ＰＥＤ＝槡６，Ｓ△ＡＥＤ＝３，１３×槡６×ｈ＝１
３
×槡２×３，ｈ ＝槡３．所以
ｓｉｎθ＝ｈ２＝槡
３
２
，θ＝６
０°．图５
例４
如图５所示，
在边长为４的正方形
ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别为边ＡＢ，ＡＤ中点，以ＣＥ和
ＣＦ为折痕把△ＤＦＣ和
△Ｂ
ＥＣ折起，使点Ｂ，Ｄ重合于点Ｐ位置，连接ＰＡ，得到四棱锥Ｐ－ＡＥＣＦ．
（１）在线段ＰＣ上是否存在一点Ｇ，使ＰＡ
与面ＥＦＧ平行若存在，
求出ＰＧ
ＧＣ
；（２）求直线ＡＰ与面ＰＥＣ所成角的正弦值．
解（１）连接ＥＦ，ＡＣ交于点Ｏ，
则
ＡＣ⊥ＥＦ，ＡＯＯＣ＝１
３
．
当ＰＧＧＣ＝１
３
时，ＰＡ与面ＥＦＧ平行．因为
ＡＯＯＣ＝ＰＧＧＣ＝１
３
，·
２１·《数理天地》高中版数学中的思想和方法２０２０年第１２期
所以ＰＡ∥ＯＧ．
故ＰＡ与面ＥＦＧ平行．
（２）设点Ａ到面ＰＥＣ的距离为ｈ，
ＶＡ－ＰＥＣ＝ＶＰ－ＡＥＣ，
Ｓ△ＰＥＣ＝４，Ｓ△ＡＥＣ＝４．
因为ＰＣ⊥ＰＥ，ＰＣ⊥ＰＦ，
所以ＰＣ⊥面ＰＥＦ，ＰＣ⊥ＯＰ．又ＥＦ⊥ＯＣ，ＥＦ⊥ＯＰ，
所以ＥＦ⊥面ＯＰＣ．
又ＥＦ 面ＡＥＣ，
所以面ＡＥＣ⊥面ＯＰＣ．
作ＰＴ⊥ＯＣ，则
ＰＴ⊥面ＡＥＣ，ＰＴ＝４３，
所以１
３×４ｈ＝
１
３
×４×
４
３
，
解得ｈ＝４
３
．
因为ＰＣ＝４，ＰＴ＝４
３
，
ＣＴ＝
槡
８ ２
３
，ＡＴ＝
槡
数学天地４ ２
３
，ＡＰ＝
槡
４ ３
３
．
所以ｓｉｎθ＝
４
３
４
３
槡３
＝
槡３
３
．
借助等体积法求线面角，可以避开角的
难点，降低思维难度，其关键在于求出直线上某
点到平面的距离．在实际解题中，要充分运用立
体几何中的判定定理，性质定理，并善于结合题
目条件挖掘隐含的信息，沟通各个几何元素之
间的关系，不断转化，实现解题的高效．
（上接第１０页）
即Ｆ（ｘ）在［０，１］上单调递减，
所以Ｆ（ｘ）ｍａｘ＝Ｆ（０），
即Ｆ（ｘ）≤Ｆ（０）＝１－ｔ≤０，
得ｔ≥１．
１１．正难则反，利用补集思想
例１２关于ｘ的方程ｘ２＋２ｍｘ＋２ｍ２－
１＝０至少有１个负实数根，求实数ｍ的取值范
围．
解设全集
Ｕ＝｛ｍ｜Δ≥０｝＝｛ｍ｜－１≤ｍ≤１｝．
设方程没有负实数根，即只有正实数根或
零根时ｍ的范围为集合Ａ．
由
Δ≥０，
ｘ１＋ｘ２≥０，ｘ１ｘ２≥０，
烅
烄
烆
得
－１≤ｍ≤１，２ｍ≤０，
２ｍ２－１≥０，烅
烄
烆
所以－１≤ｍ≤－槡２
２，
即Ａ＝ｍ｜－１≤ｍ≤－槡２
２
｛｝，
所以集合Ａ的补集是
ｍ｜－
槡２
２
＜ｍ≤１
｛｝，
故ｍ的取值范围是－槡２
２
＜ｍ≤１．
１２．根据函数的奇偶性、周期性、对称性等
性质
例１３若ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ＋α）＋ｃｏｓ（ｘ－α）
为偶函数，求α的值．
解由题得ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）对一切ｘ∈Ｒ
恒成立，
所以ｓｉｎ（－ｘ＋α）＋ｃｏｓ（－ｘ－α）
＝ｓｉｎ（ｘ＋α）＋ｃｏｓ（ｘ－α），
ｓｉｎ（ｘ＋α）＋ｓｉｎ（ｘ－α）
＝ｃｏｓ（ｘ＋α）－ｃｏｓ（ｘ－α），
２ｓｉｎｘ·ｃｏｓα＝－２ｓｉｎｘ·ｓｉｎα，
即ｓｉｎｘ（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）＝０对一切ｘ∈Ｒ恒成立，
所以只需也必须ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝０．
故α＝ｋπ－π
４
（ｋ∈Ｚ）．
·
３
１
·
２０２０年第１２期数学中的思想和方法《数理天地》高中版
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