·高考数学高分之路
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山东卷
第２１题
郑茹（山东省济南西城实验中学２５００００
）郑茹教育硕士，从事高
中数学教学工作，获省级“一师
一优课”
，省级优秀指导教师，校级优秀班主任、优秀教师
。
题目已知函数
ｆ（
ｘ）＝ａｅｘ－１
－ｌｎｘ＋ｌｎａ．（１）略；（２）若ｆ（ｘ）≥１，
求ａ的取值范围．分析所给函数既包含指数函数，也包含
对数函数，求导后指数函数、对数函数无法消掉，
１．
指对同构法指对同构法：原理是利用ｘ＝ｅｌｎｘ，ｘ＝ｌｎｅｘ
进行同构变形，到对应的同构函数，判断同构函数的单调性，进而求参数范围或证明不等式．
解法１同构成函数型
ａｅｘ－１＋ｌｎａ－ｌｎｘ≥１， ａｅｘ－１＋ｌ
ｎａ＋ｘ－１≥ｌｎｘ＋ｘ，
ａｅｘ－１＋ｌｎａｅｘ－１≥ｌ
ｎｘ＋ｘ，构造
ｈ（ｘ）＝
ｌｎｘ＋１，则原式转化为ｈ（ａｅｘ－１
）≥ｈ（ｘ）对 ｘ∈
（０，＋∞）恒成立．因为ｈ（ｘ）在ｘ∈（０，＋∞）上单增，
所以ａｅｘ－１
≥ｘ，即ａ≥ｘ
ｅ
ｘ－１，
构造ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ－１，ｇ
数学天地
′（ｘ）＝１－ｘ
ｅｘ－１，易知ｇ（ｘ）在（０，１）上单调递增，在（１，＋∞）上单调递减，所以ｇ（ｘ）ｍａｘ＝
ｇ（１）＝１，所以
ａ≥１．解法２
同构成指数型
ａｅｘ－１
＋ｌ
ｎａ－ｌｎｘ≥１， ｅｌｎａｅｘ－
１＋ｌｎａ＋ｘ－１≥ｌｎｘ＋ｘ，
ｅｌｎａ＋ｘ－１＋ｌ
ｎａ＋ｘ－１≥ｌｎｘ＋ｅｌｎｘ
，构造
ｈ（ｘ）＝ｅｘ
＋ｘ，
则原式转化为ｈ（ｘ＋ｌｎａ－１）≥ｈ（ｌｎｘ）对
ｘ∈（０，＋∞）恒成立．
因为ｈ（ｘ）在ｘ∈（０，＋∞）上单增，所以ｘ＋ｌｎａ－１≥ｌｎｘ，即
ｌｎａ≥ｌｎｘ－ｘ＋１．
构造ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘ＋１，ｇ
′（ｘ）＝１－ｘ
ｘ，易知ｇ（ｘ）在（０，１）上单调递增，在（１，＋∞）
上单调递减，所以ｇ（ｘ）ｍａｘ＝
ｇ（１）＝０，所以
ｌｎａ≥０，
即ａ≥１．２．
切线放缩常用的放缩有ｅｘ
≥ｘ＋１，ｌｎｘ≤ｘ－１，ｅｘ
≥ｅ
ｘ，ｌｎｘ≤ｘ
ｅ
等．解法３只对指数放缩
ｆ（
ｘ）＝ｅｌｎａｅｘ－１
＋ｌｎａ－ｌｎｘ＝ｅｌｎａ＋ｘ－１
－ｌ
ｎｘ＋ｌｎａ，因为ｅｘ－１≥ｘ，所以
ｅｌｎａ＋ｘ－１
≥ｌ
ｎａ＋ｘ，·
２２·《数理天地》高中版高考数学高分之路２０２１年第１期
故ｆ（ｘ）≥ｌｎａ＋ｘ－ｌｎｘ＋ｌｎａ
＝２ｌｎａ＋ｘ－ｌｎｘ，
令ｇ（ｘ）＝２ｌｎａ＋ｘ－ｌｎｘ，
则ｇ′（ｘ）＝１－１
ｘ
．
当ｘ∈（０，１）时，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减；
当ｘ∈（１，＋∞）时，ｇ′∈（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增，
所以ｇ（ｘ）≥ｇ（１）＝２ｌｎａ＋１，
当ａ≥１时，ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）≥１成立，满足题意．
当０＜ａ＜１时，ｆ（１）＝ａ＋ｌｎａ＜１，不满足题意．
综上知，ａ≥１．
解法４指对同时放缩
由题可知ａ＞０，
因为ｅｘ－１≥ｘ，－ｌｎｘ≥１－ｘ，
所以ｆ（ｘ）＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ
≥ａｘ－ｘ＋１＋ｌｎａ
＝（ａ－１）ｘ＋ｌｎａ＋１．当ａ≥１时，（ａ－１）ｘ＋ｌｎａ＋１≥１，
所以ｆ（ｘ）≥１成立，满足题意．
当０＜ａ＜１时，
ｆ（１）＝ａ＋ｌｎａ＜１，不满足题意．
综上知，ａ≥１．
３．指数好基友，对数单身狗
指数好基友：原理是利用ｅｘｆ（ｘ）的导函数正负可只考虑ｆ（ｘ）＋ｆ′（ｘ）的正负，所以我们可以将原式同除指数，转化为此种形式．对数单身狗：若题目中出现ｌｎｘｆ（ｘ）时，直接求导很困难，可将原式同除ｆ（ｘ），就会变得简单很多．
本题对数函数就是单身的形式，所以可以直接求导，结合隐零点解决．
解法５ ｆ′（ｘ）＝ａｅｘ－１－１
ｘ
，
易知ｆ′（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增，
当ｘ→０时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ′（１）＝ａ－１；
当ａ≥１时，ｆ′（１）≥０，
所以 ｘ
０∈
（０，１］，使得ｆ′（ｘ
０
）＝０，
即ａｅｘ０－１＝１
ｘ０
，
ｌｎａ＝－ｌｎｘ０－ｘ０＋１，
所以ｆ（ｘ）在（０，ｘ
０
）上单调递减，
在（ｘ
０
，＋∞）上单调递增，
故ｆ（ｘ）
ｍｉｎ＝ｆ
（ｘ
０
）＝ａｅｘ０－１－ｌｎｘ
０＋ｌｎａ
＝
１
ｘ０
－２ｌｎｘ０－ｘ０＋１，
令ｇ（ｘ）＝１
ｘ
－２ｌｎｘ－ｘ＋１，ｘ∈（０，１］，
由ｇ′（ｘ）＝－１
ｘ２
－
２
ｘ
－１＝－
（ｘ＋１）２
ｘ２
＜０，知ｇ（ｘ）在（０，１］上单调递减，
所以ｇ（ｘ）≥ｇ（１）＝１在（０，１］上恒成立，即ａ
≥１满足题意．
当０＜ａ＜１时，ｆ（１）＝ａ＋ｌｎａ＜ａ＜１，不满足题意．
综上知，ａ≥１．
本题也可指数好基友，结合隐零点来解决．解法６ ａｅｘ－１＋ｌｎａ－ｌｎｘ≥１，
ａｅｘ－１＋ｌｎａ－ｌｎｘ－１≥０，
ａ＋ｅ１－ｘ（ｌｎａ－ｌｎｘ－１）≥０．
令ｇ（ｘ）＝ａ＋ｅ１－ｘ（ｌｎａ－ｌｎｘ－１），
则ｇ′（ｘ）＝ｅ１－ｘ ｌｎｘ－ｌｎａ－１
ｘ
＋１
（）．
令ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｌｎａ－１
ｘ
＋１，
易知ｈ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增，
ｈ（１）＝－ｌｎａ．
当ａ＝１时，ｈ（１）＝０，ｈ（ｘ）在（０，１）上单调递减，（１，＋∞）上单调递增，
ｈ（ｘ）≥ｈ（１）＝０，
即ｇ（ｘ）≥０在（０，＋∞）恒成立，满足题意．
当ａ＞１时，ｈ（１）＜０，ｈ（ａ）＝１－１
ａ
＞０，
所以 ｘ
０∈
（１，ａ），
使得ｈ（ｘ０）＝０，
且ｌｎａ－ｌｎｘ
０－１＝－
１
ｘ０
，（下转第２６页）
·
３
２
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２０２１年第１期高考数学高分之路《数理天地》高中版
（ａ２ ｙ２０－ａ２ｂ２＋ｂ２ ｍ２）
＋ａ２（ｘ０－ｍ）２＝０，ｂ２（－ｘ２
０＋ｍ）２＝－ａ２（
ｘ０－ｍ）２
，因为ｘ０≠ｍ，
所以
ｍ＝（ａ２－ｂ２
）ｘ０
ａ２＋ｂ
２
，显然此时ＡＢ过点
（ａ２－ｂ２）ｘ０ａ２＋ｂ２，（ｂ２－ａ２
）
ｙ０ａ２
＋ｂ
２（
）
，即
ｃ２ ｘ０ａ２＋ｂ２，－ｃ
２
ｙ０ａ２＋ｂ
２（）．综上知，直线ＡＢ过定点
ｃ２ ｘ０ａ２＋ｂ２，－ｃ
２
ｙ０ａ２＋ｂ
２（
）
．推广２
点Ｐ（ｘ０，ｙ０）为椭圆ｙ２ａ２＋ｘ２
ｂ
２＝
１（ａ＞ｂ＞０）上任意一点，过点Ｐ作ＰＡ⊥ＰＢ，
ＰＡ、ＰＢ与椭圆分别交于异于点Ｐ的点Ａ、Ｂ，
则直线ＡＢ过定点－ｃ２ ｘ０ａ２＋ｂ２，ｃ２
ｙ０ａ２＋ｂ
２（）
．推广３
点Ｐ（ｘ０，ｙ０）为双曲线ｘ２ａ２－ｙ２
ｂ
２＝
１（ａ＞０，ｂ＞０，ａ≠ｂ）上任意一点，过点Ｐ作ＰＡ
⊥Ｐ
Ｂ，ＰＡ、ＰＢ与双曲线分别交于异于点Ｐ的点Ａ、Ｂ，则直线ＡＢ过定点
ｃ２ ｘ０ａ２－ｂ２，－ｃ
２
ｙ０ａ２－ｂ
２（
）
．推广４
点Ｐ（ｘ０，ｙ０）
为双曲线ｙ２ａ２－ｘ２
ｂ
２＝１（ａ＞０，ｂ＞０，ａ≠ｂ）上任意一点，过点Ｐ作ＰＡ
⊥Ｐ
Ｂ，ＰＡ、ＰＢ与双曲线分别交于异于点Ｐ的点Ａ、Ｂ，则直线ＡＢ过定点
－ｃ２ ｘ０ａ２－ｂ２
，ｃ
２
ｙ０ａ２－ｂ
２（
）
．推广５点Ｐ（ｘ０，ｙ０）为有心圆锥曲线
ｘ２ｍ＋ｙ２
ｎ＝１上任意一点，
过点Ｐ作ＰＡ⊥ＰＢ，ＰＡ、ＰＢ与曲线分别交于异于点Ｐ的点Ａ、Ｂ，则直线ＡＢ过定点
（ｍ－ｎ）ｘ０ｍ＋ｎ，（ｎ－ｍ）
ｙ０ｍ＋ｎ
（）
．
推广６点Ｐ（ｘ０，ｙ０）为抛物线ｙ２
＝
２ｐ
ｘ（ｐ＞０）上任意一点，过点Ｐ作ＰＡ⊥ＰＢ，ＰＡ、ＰＢ与抛物线分别交于异于点Ｐ的点Ａ、Ｂ，则直线ＡＢ过定点（ｘ０＋２ｐ，
－ｙ０）． （上接第２３页）因此，ｇ（ｘ）在（０，ｘ０）上单调递减，在（ｘ０，＋∞）上单调递增，
故ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝
ｇ（ｘ０）＝ａ＋ｅ１－
ｘ０（ｌｎａ－ｌｎｘ０－１）＝ａ－１ｘ０
ｅ１－ｘ
０，
因为ｅ１－
ｘ０＜１，１ｘ０
＜１，
所以１ｘ０
ｅ１－ｘ０
＜１，即
ｇ（ｘ）ｍｉｎ＞０
，满足题意．当０＜ａ＜１时，ｇ（
１）＝ａ＋ｌｎａ－１＜ａ－１＜０，
不满足题意．综上知，ａ≥１．
４．
指对分离指对分离：将指数函数与对数函数分开在不等号的两边，将一个函数转化为两个函数，两函数凸凹性相反，分别考虑两侧最值，适用于证明题．
对于本题我们可以用必要性探路，再证明．解法７必要性探路：ｆ（
１）＝ａ＋ｌｎａ≥１，得
ａ≥１．
下面证明当ａ≥１时，符合题意．
ａｅｘ－１
＋ｌｎａ－ｌｎｘ≥１，ｅｘ－１
≥
１ａ＋１ａｌ
ｎｘ
ａ
．因为ａ≥１，ｌｎｘ≤ｘ－１，所以
１ａ１＋ｌｎｘａ（）
≤１＋ｌ
ｎｘａ≤１＋
ｘ
ａ
－１（）≤ｘ．又因为ｅｘ－１
≥ｘ，
所以
ａ≥１．
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６２·《数理天地》高中版高考数学高分之路２０２１年第１期
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